Przestrzenie i podprzestrzenie liniowe Kamil: Cześć. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć przestrzenie oraz podprzestrzenie liniowe? Bardzo zależy mi na pomocy, ponieważ jutro mam ważną poprawę. Siedzę już parę godzin i nic nie mogę zrozumieć. Czytam wykłady i jedyne co dam rade zapamiętać to aksjomaty przestrzeni liniowych. Takie przykładowe zadanie: Niech X bedzie dowolnym niepustym zbiorem. Oznaczmy przez R^X zbiór wszystkich funkcji f : X → K. Dodawanie funkcji z tego zbioru okreslamy wzorem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) dla x ∊ X. Natomiast mnozenie przez skalary okreslamy wzorem: (a * f)(x) = a · f(x) dla x ∊ X. Udowodnij, ze w ten sposób otrzymujemy przestrzen liniowa nad ciałem R. To jest jedno z wielu których nie rozumiem. Jeżeli nie wiecie jak mi to tutaj wytłumaczyć to może znacie jakieś strony z filmikami, gdzie jest wszyscy po ludzku wyjaśnione?

PW: To akurat nie jest trudne. Masz zbiór (w tym wypadku jest to zbiór funkcji, ale to nie ma większego znaczenia − w definicji przestrzeni liniowej mówi się o dowolnym niepustym zbiorze). Na elementach tego zbioru wprowadzone są działania "+' oraz mnożenie "•" przez elementy pewnego ciała (akurat tutaj jest to ciało R). Na funkcje − elementy przestrzeni − patrzysz jak na "klocki" − nie rozważasz jaka to funkcja, nie badasz jej własności, ot − element. Mówisz, że definicję przestrzeni liniowej znasz (nie wiem dlaczego "aksjomaty"). Bierzesz po kolei wszystkie warunki definicji i sprawdzasz. 1. Czy działanie "+" jest łączne, to znaczy czy dla dowolnych funkcji f, g, h f+(g+h) = (f+g)+h Właściwie nie ma czego sprawdzać, takie twierdzenie znamy, wynika z łączności dodawania w zbiorze liczb rzeczywistych. 2. .... i tak dalej, wszystkie warunki definicji przestrzeni liniowej. W połowie się znudzisz.

Kamil: Ok, rozumiem. Muszę do tego doprowadzić licząc to? czy wystarczy ze napiszę samo f+(g+h) = (f+g)+h?

PW: Wystarczy, że napiszesz "własność oczywista", bo przecież jest oczywista, nikt tego nie będzie drążył.

Kamil: Dobra, ale skąd sie bierze f+(g+h)?

Kamil: z drugiej definicji przestrzeni liniowej?

Kamil: Masz chwilę czasu? Może dogadamy się na gg? bo mam pare pytań.

PW: Zgroza mnie ogarnia. Jaka "druga definicja"? Obiekt może mieć jedną definicję, inaczej byśmy powariowali przy spotkaniu uczonych z Wyższej Humanistycznej i Kosmetologii z uczonymi z Politechniki Meblarskiej. Miałeś inną definicję niż http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa ? Niestety, muszę już odejść od komputera z uwagi na zagrożenie wojną domową.

Kamil: Chodziło mi o drugi aksjomat.