indukcja - prosze o pomoc albin55: Proszę o pomoc w zadaniach z indukcji matematycznej: 1/ wykaż , ze liczba nⁿ − n² + n − 1 jest podzielna przez ( n−1 )² dla wszystkich całkowitych n większych od 1

PW: Dla n=2 mamy 2² − 2² + 2 − 1 = 1 Liczba jest podzielna przez (2−1)² = 1. Twierdzenie jest prawdziwe dla n=2. Teraz założenie dla n=k i teza dla n=k+1. Napiszesz? Trzeba samemu próbować. W dowodzie pomożemy.

albin55: teza: (n+1)ⁿ⁺¹ −(n+1)² +n = (n−1)² *d gzie d jest całkowite i dalej mam pomroczność jasną

albin55: założenie oczywiście tez potrafię napisać − nie widzę dowodu

albin55: z prawej strony tezy powinno byc n²*d − pomyłka − nie otrzaskany jestem z zapisem na komputerze

albin55: Wystarczy jakaś mała podpowiedź , żeby ruszyć z miejsca

PW: Chyba nie obędzie się bez tego, że

	n 0		n+1 1		n+1 2		n+1 n
(n+1)n+1 = (n+1)•[		nn +		nn−1 +		nn−2 +...+		n1 + 1]

(gdzieś musimy zobaczyć założenie, czyli nⁿ−n²+n−1)

albin55: wyciągasz (n+1) przed nawias zatem czemu w górnej części symboli Newtona pojawia się (n+1) a

	n 0
nie jak w pierwszym elemencie

albin55: szedłem tym tropem wczoraj − i nawet jak zastąpię cztery składniki założeniem to zostaje mi taki dwumian (d+2)*n² −2*d*n +3 i jestem znowu w lesie . Może się mylę ale wydaje mi sie , ze tu musi być inny myk

PW: Z tym dwumianem masz rację. Zmieniłem koncepcję w trakcie pisania (wyłączyłem n+1) i zmieniłem tylko w pierwszym.

albin55: znowu zamiast trójmian napisałem dwumian − sorry

Ada: Indukcja jest konieczna nⁿ−n²+n−1=nⁿ−1−n²+n=(n−1)(nⁿ⁻¹+nⁿ⁻²+...+n²+n+1)−n(n−1)= (n−1)(nⁿ⁻¹+nⁿ⁻²+...+n²+n+1−n)=(n−1)(nⁿ⁻¹−nⁿ⁻²+2nⁿ⁻²+...+n²+n+1−n)= (n−1)(nⁿ⁻²(n−1)+2nⁿ⁻²−2nⁿ⁻³+3nⁿ⁻³+...+n²+n+1−n)= (n−1)(nⁿ⁻²(n−1)+2nⁿ⁻³(n−1)+...+(n−2)n(n−1)+n(n−1)−(n−1))= (n−1)²(nⁿ⁻²+2nⁿ⁻³+...+n(n−2)+n−1) Co w zasadzie kończyłoby dowód. Czasami indukcja jest zUa.