Macierze przekształceń, macierz Jordana Qwert7: 1. Dane jest przekształcenie liniowe φ : R3 → R3, φ((x,y,z)) = (z − y,z − y,z − y). a) Wyznaczyć jądro i obraz tego przekształcenia, podać ich bazy i wymiary. Czy przekształcenie φ jest nieosobliwe czy jest na? b) Wyznaczyć macierze: M^E A(id), M^A E (id), M^A A(φ), gdzie A = ((1,1,−1),(1,1,0),(−1,0,0)), E − baza kanoniczna. c) Znaleźć taką bazę B, by φ miało w tej bazie macierz w postaci kanonicznej Jordana. Podać postać kanoniczną Jordana tego przekształcenia. d) Wyznaczyć wzór przekształcenia φ¹0, wyznaczyć wymiar jądra i obrazu dla φ¹0 Moje (częsciowe rozwiazania): dim ker φ = 2 ker φ = {x,y w R x(1,0,0)+y(0,1,1)} dim Im φ = 1 Im φ = Lin((1,1,1)) M^E A(id) = 1 1 −1 M^A E(id) = (M^E A(id))⁻¹= 0 0 −1/2 1 1 0 0 −1 1/2 −1 0 0 −1 1 0 M^E E(φ) = 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 1 I teraz M^A A(φ) otrzymuje w wyniku mnozenia pierwszej z trzecia a potem z druga tutaj podana macierza czyli −1 2 −1/2 −2 4 −1 2 −2 0 I tutaj zaczynaja sie schodki gdyz wychodza mi straszne glupoty dalej a nie mam 100% pewnosci ze moj sposob liczenia a) i b) jest poprawny, licze na wskazówki, z góry dziękuje.

Trivial: Co oznacza: M^E, M^A?

Krzysiek: kerφ i Imφ ok wyznacznik macierzy tego przekształcenia jest zerowy więc przekształcenie jest nieosobliwe nie jest 'na' bo np. nie otrzymamy wektora: (1,2,3) biorąc dowolny x,y,z. b)nie rozumiem zapisu. Czy M^E_A to macierz przejścia z bazy 'E' do 'A' czy odwrotnie? w każdym razie macierz przejścia z bazy kanonicznej do bazy A ja to bym zapisał: M_E^A(id) jest macierz: 1 1 −1 1 1 0 −1 0 0 czyli zapewne tak jak napisałeś/aś macierz odwrotna jest inna, tu masz napisaną: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C1%2C-1%7D%2C%7B1%2C1%2C0%7D%2C%7B-1%2C0%2C0%7D%7D M_A^A(φ) liczę φ(1,1,−1)=(−2,−2,−2)=a(1,1,−1)+b(1,1,0)+c(−1,0,0) i z tego wychodzi,że a=2,b=−4,c=0 czyli φ(1,1,−1)=[2,−4,0]_A − i jest to pierwsza kolumna szukanej macierzy c) baza będzie się skladała z wektorów własnych(a w szczególności i głównych) d)mając macierz tego przekształcenia w postaci Jordana to łatwo się potęguje

Qwert7: E to baza kanoniczna A podana M^E A(id) to macierz M oznaczona w gornym indeksie przez E a w dolnym(niefortunnie to zrobile mi mozna sie nie domyslic dolny indeks, od identycznosci(id) czyli macierz przedstawiona za pomoca jednej bazy w druga zgodnie z indeksami gorny − dolny (dolny − czyli literka po spacji)

Qwert7: M^E A (id) to poprostu macierz przejscia z bazy A do E

Qwert7: Czyli aby obliczyc macierz M_A^A(φ) nie musze korzystac z macierzy zmiany bazy