całka sinx*cosx warianty podstawień mavic: Cześć mam taki mały problem, do policzenia prosta całka sin(x)*cos(x) a) podstawienie t=cos(x) dt = −sin(x)dx czyli sin(x)dx = −dt Otrzymujemy −∫ tdt czyli − t²/2 Wynik = − cos²(x)/2 Wszystko w porządku; a teraz inne podstawienie: b) podstawienie t=sin(x) dt = cos(x)dx Otrzymujemy −∫ tdt czyli t²/2 Wynik = sin²(x)/2 Dwa różne wyniki, gdzie kryje się błąd ? proszę o rozwianie wątpliwości

Trivial: Pytanie jest następujące: dlaczego uważasz, że gdzieś kryje się błąd..?

PW: Wskazówka: całkowanie można sprawdzić za pomocą różniczkowania. Drugi sposób: mając dwa wyniki zapisane różnymi wzorami odjąć jeden od drugiego.

Trivial: Dodam kolejny sposób: ∫sin(x)cos(x)dx = ¹₂∫sin(2x)dx = −¹₄cos(2x) + c. Jakie znaczenie ma dodawanie stałej c?

PW: A jeszcze w ramach dowcipkowania:

	1		1
sinxcosx =		•2sinxcosx =		sin2x − całkę czegoś takiego mamy bez żadnych podstawień,
	2		2

tylko ... cholera ... jeszcze inny wynik.

PW: Słaby refleks miałem

mavic: no dobra ale każdy kalkulator podaje jako poprawny wynik − cos²(x)/2 i podkładając za x np. 30 stopni otrzymuję różne wyniki @Trivial, poważnie z tą stałą C ? ona może zaważyć o poprawności wyniku ? zawsze pisałem ją automatycznie ale nie wiem dlaczego czyli rozumiem, że na kolokwium mógłbym napisać tak lub tak i będzie w porządku ? dzięki za odpowiedzi

Trivial: Znaczenie stałej c: −¹₂cos²x + c = ¹₂sin²x → c = ¹₂sin²x + ¹₂cos²x = ¹₂. Całkowanie zwraca całą rodzinę funkcji, a nie jedną konkretną. Rodzina ta zawiera funkcje różniące się stałą. Jest wiele sposobów zapisywania takich rodzin: F = { ¹₂cos²x + c, c∊R } = { −¹₂sin²x + c, c∊R } = { −¹₄cos(2x) + c, c∊R }