def.granicy ciągu Artur: na podstawie def. granicy ciągu, wykazać,że:

	2n−1		2
lim		=
	3n+2		3

	3(2n−1)−2(3n+2)
|		| < ∊
	3(3n+2)

7
	< ∊
9n+6

7<9∊n +6∊

7−6∊
	< n
9∊

czy ktoś mógłby to sprawdzić?

Artur: i w ogóle co dalej?

Artur: :(

Artur: moze ktoś jednak?

PW: W liczniku (drugi wiersz Twoich wyliczeń) powinno być −7, a więc

	−7
|		| < ε
	9n+6

dalej "rozegrane" prawidłowo z uwagi na dodatniość mianownika jako

	7
		< ε,
	9n+6

ale w pracy pisemnej nie opuszczaj tego etapu, bo mogą się zastanawiać przy sprawdzaniu − widzisz to, czy udało się przez pomyłkę. Dalej zauważyć, że dla ustalonego ε liczba

7−6ε
	jest stałą, a więc rozwiązaniem nierówności (tej Twojej ostatniej) jest każda
9ε

liczba naturalna n począwszy od

	7−6ε
nε = [		]+1 ([a] oznacza "całość" z a).
	9ε

Jedynkę dodajemy na wszelki wypadek, gdyby ułamek okazał się liczbą naturalną. To kończy dowód − pokazaliśmy, że dla dowolnej ε>0 istnieje n_ε, począwszy od której nierówność

	2
|an −		| < ε
	3

jest spełniona.

Artur: Rozumiem, dziękuję bardzo. Jeżeli chodzi o to "opuszczanie" − na kartce mam wszystko rozpisane, tylko przepisując tutaj darowałem sobie tego typu rzeczy, żeby nie zrobić błędu. Mógłbyś zerknąć jeszcze na to:

	1
lim		=0
	2n+1

i również na podstawie definicji to wykazać

	1
|		− 0| < ∊
	2n+1

1
	< ∊
2n+1

1< 2∊n + ∊ 1−∊ < 2∊n | : 2∊

1−∊
	< n
2∊

?

PW: Wszystko w porządku, dalszy ciąg i podsumowanie jak w poprzednim zadaniu.