Wyznacz zbiór wartości funkcji f: Staś: Wyznacz zbiór wartości funkcji f:

	x2 + x + 1
a) f(x)=
	x+1

	2x
b) f(x)= log2
	1+x

c) f(x)= cos(sin x) d) f(x)= sin(cos x)

Godzio:

x2 + x + 1
	= m
x + 1

x² + x + 1 = mx + m x² + x(1 − m) + 1 − m = 0 Szukamy takich m, dla których istnieje rozwiązanie Δ ≥ 0 Δ = (1 − m)² − 4(1 − m) = 1 − 2m + m² − 4 + 4m = m² + 2m − 3 = (m + 3)(m − 1) ≥ 0 m ∊ (−∞,−3 > U <1,∞) = ZW

5-latek: Godzio. Prosba . Rozwiaz dla mnie c i d . jak to mowia krok po kroku . dziekuje Kolega tez skorzysta .

Godzio: c i d −− popatrz na zbiory wartości sinx i cosx cos(sinx), zobacz jaką największą i najmniejszą wartość przyjmuje cosx dla x ∊ [−1,1]

	2x		2m
b) 2m =		⇔ x(2 − 2m) = 2m ⇔ x =
	1 + x		2 − 2m

Dla m = 1 oczywiście mamy sprzeczność, popatrzmy jeszcze na dziedzinę logarytmu

2x
	> 0 ⇔ x(x + 1) > 0 ⇔ x ∊ (−∞,−1) U (0,∞)
1 + x

	2m		2m + 2 − 2m
Stąd		< − 1 ⇔		< 0 ⇔
	2 − 2m		2 − 2m

2(2 − 2^m) < 0 ⇔ m > 1 oraz

2m
	> 0 ⇔ m < 1
2 − 2m

ZW = R \ {1}

5-latek: dziekuje

Godzio: Rozwiążę tylko c) (d − analogicznie ) f(x) = cos(sinx) Wiemy, że sinx ∊ [−1,1], popatrzmy jak zachowuje się cosx na tym przedziale. Co wiemy ? cos(0) = 1 (maksimum), 0 ∊ [−1,1] więc ZW = [y₁,1] teraz znajdźmy minimum

π		π
	> 1 (analogicznie −		< − 1), więc cos(sinx) nie osiągnie wartości ≤ 0 stąd
2		2

najmniejszą wartością będzie: cos(1) = cos(−1) (cosx jest parzysty, więc możemy wybrać jedną z tych wartości) ZW = [ cos(1), 1 ]

Staś: Dzięki wielkie! A jakieś wskazówki do b?

Staś: Muszę to rysować czy dałoby radę jakoś szybciej to rozwiązać?

Godzio: b) rozwiązanie w drugim moim poście

Staś: Ale ze mnie gapa. Dzięki jeszcze raz.

Staś: Ale ze mnie gapa. Dzięki jeszcze raz.