Równość w trójkącie
diana7: Pokaż, że dla dowolnego trójkąta zachodzi cosα+cosβ+cosγ=1+r/R
1 lut 16:46
Vax: | | 2P | | abc | | r | |
Ze wzorów r = |
| , R = |
| i ze wzoru Herona mamy 1+ |
| = |
| | a+b+c | | 4P | | R | |
| | (a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c) | | ab2+ac2−a3 | |
1+ |
| , z tw cosinusów mamy cosα = |
| , czyli |
| | 2abc | | 2abc | |
mamy dowieść:
ab
2+ac
2+ba
2+bc
2+ca
2+cb
2−a
3−b
3−c
3 = 2abc + (a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)
Co jak łatwo sprawdzić jest prawdą, qed.
1 lut 18:22