dowodzenie twierdzeń xoxoxox:

	a2		b2		a		b
Udowodnij , że jeżeli a i b są dodatnie to 3(		+		)≥8(		+		)−10
	b2		a2		b		a

diana7: Założenie, że a, b są dodatnie nie jest potrzebne . Nierówność zachodzi dla dowolnych a, b różnych od 0.

	a		a2		a
Łatwo pokazać (np. licząc deltę względem		), że 3		−8		+5≥0, oraz
	b		b2		b

	b2		b
analogicznie 3		−8		+5≥0. Dodając stronami nierówności i prosto przekształcając
	a2		a

uzyskujemy tezę.

xoxoxox: dzięki

Jan:

	a
ale to nie jest prawda, bo dla		= 1,5
	b

	a2		a
3		−8		+5 < 0
	b2		b

PW: A bo Δ=8² − 4•3•5 = 64−60 > 0, więc nierówność nie dla wszystkich par (a,b) jest prawdziwa.

PW: Gdyby tak np. po prawej stronie zadanej nierówności było −11, a nie −10 ...

Vax: Mnożąc obustronnie przez a²b² dostajemy równoważnie do pokazania 3a⁴+3b⁴+10a²b² ≥ 8(a³b+ab³) ⇔ (a−b)²(3a²−2ab+3b²) ≥ 0 co jest oczywiste, qed.

Vax: Dowód powyżej jest niepoprawny.

due: a,b>0

a		b
	+		≥0
b		a

a		b		a2		a2
	+		≥2 /2 ⇔		+		≥2
b		a		b2		b2

	a2		b2		a		b
3(		+		)≥6 i 8(		+		)≥16
	b2		a2		b		a

odejmując stronami

	a2		b2		a		b
3(		+		)− 8(		+		)≥ −10
	b2		a2		b		a

	a2		b2		a		b
3(		+		)≥8(		+		)−10
	b2		a2		b		a

teraz pasuje? Vax

due:

	a2		b2		a		b
Jeszcze dodam,że		+		≥		+
	b2		a2		b		a

Vax: Nie pasuje, bo nierówności nie można odejmować stronami..

	a2		b2
Dowodzisz, że 3(		+		) ≥ 6
	b2		a2

oraz

	a		b
8(		+		)−10 ≥ 6
	b		a

	a2		b2		a		b
Ale z tego w żaden sposób nie wynika, że 3(		+		) ≥ 8(		+		)−10
	b2		a2		b		a

PS. Nie wiem kto usunął wcześniejszy post due, ale teraz mój poprzedni wpis wygląda dość dziwnie (odnosił się on do rozwiązania due ) Dowód przedstawiony przeze mnie jest ok.

PW: Uratujmy ładny pomysł diany7. Rozważa ona funkcję f(u) = 3u²−8u+5,

	a		1		b
w której raz argumentem jest x=		, a drugim razem		=		, a więc szacuje sumę
	b		x		a

	1		1		1		1		1
f(x) + f(		) = 3x2−8x+5 + 3		−8		+5 = 3(x2+		) −8(x+		)+10
	x		x2		x		x2		x

Wystarczy zauważyć, że

	1		1		1		1
x2+		= (x+		)2 −2x2		= (x+		)2 − 2,
	x2		x		x2		x

oraz że

	1
x+		≥ 2
	x

	a
(znana nierówność dla x>0 − widać więc, że wystarczy założenie		>0).
	b

	1
Oznaczając z=x+		otrzymamy:
	x

	1
f(x) + f(		) = 3(z2 − 2) − 8z +10 = 3z2 − 8z +4, z ≥ 2.
	x

Nierówność 3z² − 8z +4 ≥ 0 jest oczywista z uwagi na fakt, że liczba 2 jest jednym z miejsc zerowych, co łatwo sprawdzić, i co kończy dowód.