Probabilistyka KODOFIX: Witam nie wiem czy ktoś zamieszczał w takiej formie zadanie ale tutaj student z Erasmusa, który potrzebuje pomocy na obczyźnie Z góry dziękuje jeżeli ktoś spróbuje się podjąć tych 2 zadań. 1.From a bin with 𝑛 black and 𝑛 white balls, we choose randomly an even number of balls. (a) Find the probability that the number of black balls is equal with the number of white. (b) What happens when 𝑛→∞; 2. A particle moves on a straight line, one step to the right with probability p or one step to the left with probability 𝑞=1−𝑝. If 𝛸 is the position of the particle after 𝑛 steps, find the expectated value and the variance of 𝛸.

PW: And answer in English too?

KODOFIX: If you want I can translate from Polish into English

PW: No to napisz, czy między kreseczkami − w tych "okienkach" mają być te same liczby, tzn. według naszych zwyczajów k czarnych i k białych, wybieramy losowo parzystą liczbę 2n kul (przy oczywistym założeniu 2n≤2k)?

kodofix: Kurcze w Firefox odtwarza zawartość w kwadracikach teraz patrzę, że w chrome nie zaraz zredaguje i napiszę na nowo treść zadań 1. From a bin with n black and n white balls, we choose randomly an even number of balls. (a) Find the probability that the number of black balls is equal with the number of white. (b) What happens when n →∞; 2. A particle moves on a straight line, one step to the right with probability p or one step to the left with probability q =1−p. If X is the position of the particle after n steps, find the expectated value and the variance of X. Okej teraz wszystko gra

PW: Załóżmy, że losujemy 2k kul, k≤n. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest

	2n 2k		(2n)!
(1)		=		.
			(2k)!(2n−2k)!

Liczność zbioru A, w którym jest k czarnych i k białych kul jest równa

	n k		n k		n!		n!
(2)		•		=		•		.
					k!(n−k)!		k!(n−k)!

Zgodnie z twierdzeniem zwanym klasyczną definicją prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo P(A) jest ilorazem (2) przez (1):

	n!		n!		(2k)!(2n−2k)!
P(A) =		•		•		=
	k!(n−k)!		k!(n−k)!		(2n)!

	n!n!		(2k)!		(2n−2k)!
=		•		•		.
	(2n)!		k!k!		(n−k)!(n−k)!

To jest odpowiedź na punkt a). Dla znalezienia odpowiedzi na pytanie b) postarajmy się przekształcić ten iloczyn. Pierwszy ułamek jest równy

	n!
		,
	(n+1)(n+2)...(n+n)

drugi ułamek jest równy

	(k+1)(k+2)...(k+k)
		,
	k!

dla ustalonej k jest stałą (oznaczmy ją symbolem K), a trzeci

	(n−k+1)(n−k+2)...(2n−2k)
		,
	(n−k)!

wobec czego

	n! (n−k+1)(n−k+2)...(2n−2k)
P(A) = K•
	(n+1)(n+2)...(n+n)(n−k)!

Na razie tyle, bo domownicy mnie zamordują za to siedzenie przy ekranie.

MQ: Zad 2. Po prostu rozkład dwumianowy: http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

PW: cd. a) Pewnie niepotrzebnie bawiłem się w przekształcanie, chyba we wzorze na P(A) trzeba zastosować wzór Stirlinga.

KODOFIX: Dzięki wielkie PW Jutro postaram się zrobić 2 zadanie dzięki za radę MQ