ciągi marek: zbadaj ograniczoność ciągu: a_n = ¹_{n² − 25n + 140}

marek: jak w ogóle bada się ograniczoność ciągów?

wredulus_pospolitus: hmmm ... zaczyna się od sprawdzenia czy posiada granicę jeżeli ciąg jest zbieżny ... to jest ograniczony

wredulus_pospolitus: inaczej ... nie tyle posiada granicę ... co − jeżeli ciąg jest ZBIEŻNY to jest ograniczony

marek: dobrze liczę tę granicę? (pomijam limesy żeby było czytelniej, wiadomo o co chodzi) ¹_{n² − 25n + 140} = 1 / n² (1 − ²⁵_n + ¹⁴⁰_n² ) = 1 / n² −−−> 0 czyli ciąg jest ograniczony?

marek: ciąg jest ograniczony jeśli ma skończoną granicę, jeśli granica wychodzi +− ∞ to wtedy jest nieograniczony? a jeśli nie ma granicy?

wredulus_pospolitus: tak ... jeżeli ciąg ma skończoną granicę (czyli jest zbieżny) to jest ograniczony ... ponieważ: istnieje punkt do którego 'dążą' kolejne elementy ciągu ... a więc istnieje taki element ciągu, że wszystkie inne są od niego większe/mniejsze ... a jeżeli taki element ciągu nie istnieje ... to granica tegoż ciągu spełnia ten właśnie warunek jeżeli granicą jest ⁺/₋∞ to oczywiście nie jest ograniczony i tego wyjaśniać nie muszę jeżeli ciąg NIE POSIADA granicy to ... to nie wiesz czy jest ograniczony czy nie (musisz to sprawdzić w inny sposób), ponieważ np: a_n = (−1)ⁿ nie ma granicy ... ale jest ograniczony (z góry przez '1', z dołu przez '−1') a_n = (−1)ⁿ * n także nie ma granicy ... ale nie jest on ograniczony

marek: Dziękuję. A drugim poleceniem do tego zadania jest sprawdzić, czy ciąg jest monotoniczny. Badam więc znak wyrażenia a_n+1 − a_n i nie wiem czy się mylę w obliczeniach ale wychodzi mi takie coś, że nie jestem w stanie określić znaku tego wyrażenia. czy w ogóle źle się do tego zabieram?

wredulus_pospolitus: zauważ, że dla: n²−25n+140 = 0 Δ>0 n₁ ≈8,5 n₂≈16,5 czyli dla n∊<9;16>

1
	< 0
n2−25n+140

natomiast dla n∊<1;8> ∪ <17;+∞)

1
	> 0
n2−25n+140

czyli ciąg nie jest monotoniczny

wredulus_pospolitus: zabierasz się dobrze ... i dobrze Ci wychodzi

marek: Dobra, to na takim przykładzie, to samo polecenie a_n = ¹_{n² − 6n + 10} delta wychodzi ujemna, czyli ciąg jest monotoniczny?

marek: Czyli jeśli mi wychodzi coś takiego, że nie mogę określić znaku, to może być pewien objaw tego, że ten ciąg nie jest monotoniczny?

wredulus_pospolitus: nie nie ... mało tego ... zakoduj sobie ... w liczniku masz wielomian parzystego stopnia jak wygląda wykres takiego wielomianu jest nim parabola ... bez różnicy czy ramiona do góry czy do dołu ... istotne jest, że ów parabola NIE JEST monotoniczna ... rośnie ... a później maleje (albo na odwrót)

	1
a więc wyrażenie		także nie może być monotoniczne
	wielomian 2 stopnia

wredulus_pospolitus: to co ja pokazałem o 23:01 ... to tylko pokazałem ... że dla części 'n' mianownik będzie ujemny, a dla części a dla całej reszty (przed i po) dodatnie w przykładzie 23:08, też będzie taki 'dołek' ale nie będzie to, że dla części 'n' mianownik będzie ujemny ... a np. będzie <3 ... ale już dla małych 'n' ... i dla dużych 'n' ... mianownik będzie >3

marek: źle zinterpretowałem, myślałem, że sęk jest w tym, że w pierwszym przykladzie wielomian ma miejsca zerowe, czyli przecina oś OX. za dużo szukałem haczyków widocznie

wredulus_pospolitus: niee ... ja po prostu tak trafiłem troszeczkę mało celnie z tym przykładem ... po prostu nie wpadłem na to, że możesz tak to zinterpretować

wredulus_pospolitus: no i najłatwiej właśnie w ten sposób było mi pokazać brak monotoniczności

wredulus_pospolitus:

	1
w ogólnym przypadku ... jak masz		; gdzie an to wielomian PARZYSTEGO stopnia
	an

−> policz wierzchołek tej paraboli wybierz 'n' najbliżej wierzchołka tej paraboli wybierz 'n−1' oraz 'n+1'

	1		1		1		1
jeżeli wyjdzie		−		< 0 to wyjdzie:		−		> 0
	an		an−1		an+1		an

czyli brak monotoniczności (analogicznie odwrotnie nierówności mogą być)

wredulus_pospolitus:

	1
albo po prostu ... f(x) =		−−− 'monotoniczność' (lub jej brak) funkcji g(x) "jest
	g(x)

dziedziczona" przez funkcję f(x)

marek: no dobra, a co np. w takim przypadku a_n = ^{n2 + 1}_n!

wredulus_pospolitus: ogólnie ... monotoniczność ciągu a_n wyznaczasz badając wyrażenie: a_n+1 − a_n i gdy jest: >0 to rosnący = 0 to stały <0 malejący 'różnie' nie jest monotoniczny LUB

an+1
	i gdy jest:
an

>1 to rosnący = 1 to stały <1 malejący 'różnie' nie jest monotoniczny

	an+1
w przykładzie z 23:26 lepiej zastosować badanie		, ponieważ skrócisz sobie potęgi
	an