liczby zespolone pat: Udowodnić, że suma wszystkich pierwiastków stopnia n z dowolnej liczby zespolonej równa jest 0. Zaczęłam tak S=ω₀+ω₁+...+ω_n−1= ⁿ√|z| (cos^φ_n + isin^φ_n + cos^φ+2π_n + isin^φ+2π_n + ... + cos^φ+2n−2π_n + isin^φ+2n−2π_n tu się zacięłam. Ma to sens? A jeśli tak to jak wyzerować te sinusy i cosinusy? Bardzo bardzo proszę o pomoc, w ogóle nie czuję algebry

wredulus_pospolitus: łatwiej by było Ci to zrozumieć ... gdybyś widział/−a jak wygląda 'rozstawienie' pierwiastków liczby zespolonej na płaszczyźnie (rysunek i zaznaczasz pierwiastki na okręgu) udowodnienie tego dla parzystej liczby pierwiastków jest bardzo proste. Wystarczy zauważyć, że ∀_{a jest pierwiastkiem liczby z} a=(x,y) ∃_{a' będący pierwiastkiem z} a'=(−x,y) oraz: ∀_{a jest pierwiastkiem liczby z} a=(x,y) ∃_{a' będący pierwiastkiem z} a'=(x,−y) natomiast przy nieparzystej liczbie pierwiastków sprawa wygląda troszeczkę bardziej skomplikowanie, ale i tu graficzne przedstawienie pierwiastków byłoby baaardzo pomocne

pat: Dziękuję, ale interpretacja geometryczna to troche mało. Istnieje może jakiś inny sposób?

wredulus_pospolitus: ale 'trochę mało' do czego Interpretację geometryczną zaproponowałem Ci, abyś zrozumiała jaka jest zależność pierwiastków pomiędzy sobą ... oczywiście geometrycznie można to także udowodnić, ale Ty wolisz algebraicznie. Druga sprawa −−− lepiej sprawdź wzór na pierwiastki liczby zespolonej −−− masz je źle zapisane

MQ: Wystarczy udowodnić, że ∑_{(od k=0 do k=n−1)}e^2kπ/n=0, a to jest proste. Podpowiedź: ciąg geometryczny.

MQ: Drobna poprawka: e^2kπi/n oczywiście −− zgubiłem i w poprzednim poście