wielomian halo: Rozloz wielomian na czynniki: −6x⁵ − 9x² −5x Czy ktos jest w stanie wyjasnic wszystko pokolei?

PW: Po wyłączeniu (−x) przed nawias dostajemy (−x)(6x⁴+9x+5). Wielomian W(x) = 6x⁴+9x+5 nie ma pierwiastków wymiernych (mogłyby nimi być jedynie −1,1,5,−5). Postarajmy się rozłożyć go na iloczyn dwóch funkcji kwadratowych:

	3		5
(1) 6(x4 +		x +		) = 6(x2+ax+b)(x2+cx+d).
	2		6

Wymnożenie trójmianów po prawej stronie daje x⁴ + cx³+dx²+ax³+acx²+adx+bx²+bcx+bd = x⁴ + (a+c)x³ + (ac+b+d)x² + (ad+bc)x + bd. Wielomiany po lewej i prawej stronie (1) mają jednakowe współczynniki przy odpowiednich potęgach, więc

	3		5
(2) a+c = 0 i ac+b+d = 0 i ad+bc=		i bd=
	2		6

Z pierwszego i czwartego równania wyznaczamy:

	5
(3) c = −a i d =		,
	6b

co podstawione do pozostałych dwóch równań daje

	5		5
−a2 + b +		= 0 i a•		+ b(−a) = 0
	6b		6b

	5		5
−a2 + b +		= 0 i a•(		− b) = 0.
	6b		6b

Po podzieleniu drugiego z równań stronami przez a otrzymamy

	5		5
−a2 + b +		= 0 i		− b = 0.
	6b		6b

Dodanie stronami ostatnich równań pozwala wyliczyć

	5
−a2 +		= 0
	3b

	5
b =		.
	3a2

Po uwzględnieniu (3) widzimy, że wszystkie współczynniki rozkładu udało sie wyrazić za pomocą a:

	5		5		a2
b =		, c = −a, d =		=		.
	3a2		5   6   3a2		2

Rozkład (1) ma więc postać

	3		5		5		a2
(1') 6(x4 +		x +		) = 6(x2+ax+		)(x2−ax+		).
	2		6		3a2		2

Współczynnik a wyliczymy z drugiego z równań (2) ac+b+d = 0

	5		a2
−a2 +		+		= 0
	3a2		2

	10
a4 =
	3

	10
a = 4√		.
	3

W rozkładzie (1') są więc dwa trójmiany:

	10		5		10		1
x2+4√		x+		) = x2 +4√		x+		√103
	3		3√103		3		2

oraz

	10		1
x2 −4√		) x+		√103.
	3		2

Pewnie można to lepiej rozegrać, ale na razie tyle widzę (nie chce mi się sprawdzać, czy nie ma gdzieś błędu rachunkowego − myślę, że po prostu wymnożysz te dwa trójmiany żeby się upewnić).

PW: Poprawka: w 3. wierszu napisałem głupstwo − oczywiście kandydatów na wymierne pierwiastki jest więcej (bo jeszcze dzielone przez podzielniki 6). Prawdę mówiąc można ten wiersz w ogóle pominąć, nic nie wnosi do dalszego rozumowania.