funkcje gosiaaaa: wyznacz współczynnik q, dla którego rozwiązania równania 2x² − 6x + q = 0 są liczbami naturalnymi

J: Warunki: 1) Δ≥0

	q
2) x1*x2 =		− musi być liczbą naturalną
	2

PW:

	3		7
No tak, ale to mało. Gdyby x1=		i x2 =		, to też x1•x2 jest liczbą naturalną,
	7		3

ale rozwiązania − nie.

J: Witam "PW". To co napisałeś jest prawdą, ale prawdą jest ( też z treści zadania ), że x₁ i x₂ są liczbami naturalnymi

Heniek: x₁ + x₂ = 3 i x₁, x₂∊N, np.: 0 + 3, 1 + 2, ... q = 2*x₁*x₂

Maslanek: Nie sądzę J. One mają być naturalne. A ten przepis, który podałeś nie przesądza o tym, że rzeczywiście są − kontrprzykład PW. √Δ∊N na pewno.

	6±√Δ		2±√Δ
wtedy x=		=1+		.
	4		4

	2±√Δ
Czyli liczba		=k, gdzie k∊N
	4

Stąd 2±√Δ=4k Ponieważ Δ=36−8q i √Δ∊N ⇒ q=4

PW: Spróbujmy tak: Załóżmy, że równanie ma dwa rozwiązania będące liczbami naturalnymi n i k, czyli 2x^x−6x+q = 2(x−n)(x−k) 2x²−6x+q = 2x² −2(n+k)x + 2nk. Przyrółwnanie współczynników przy odpowiednich potęgach zmiennej x daje −6 = −2(n+k) i q = 2nk, czyli n+k = 3 i q = 2nk. Pierwszy z tych warunków oznacza, że liczbami n i k mogą być tylko 0 i 3 lub 1 i 2, co podstawione do drugiego warunku daje odpowiednio q = 0 lub q = 4. Wniosek: jeżeli badane równanie ma dwa rozwiązania będące liczbami naturalnymi, to ma postać 2x²−6x+0 = 0 lub 2x²−6x+4 = 0. Rozwiązaniami pierwszego są 0 i 3, zaś rozwiązaniami drugiego 1 i 2 − oba rownania spełniają warunki zadania. Odpowiedź: Warunki zadania są spełnione dla q = 0 oraz dla q=4 (no chyba że uznajemy, iż zero nie jest liczbą naturalną, wtedy pierwsze równanie z rozwiązaniem 0 odpada i pozostaje tylko odpowiedź druga).

Maslanek: Zapomniałem o q=0

PW: Chochlik w trzecim wierszu: nie 2x^x, lecz 2x².

Heniek: ale naokoło świata niektórzy chodzą do łazienki , a wzory Viety znacie?

Maslanek:

	2±√Δ
No i założenie, że		=k, gdzie k∊N∪{−1}. Wtedy jeszcze x∊N.
	4

Maslanek: To i tak dąży do rozwiązywania równania kwadratowego wtedy ^^

PW: Heniek, wzory Viete'a wymagają istnienia rozwiązań, a więc badania wyróżnika Δ. Jakoś o tym zapomniałeś. Nie żadne "naokoło świata", tylko oderwanie się od banalnych schematów "równanie kwadratowe − delta − wzory Viete'a". Gdybym miał stale powielać gotowe wzorce, to bym się zanudził na śmierć.

J: Tak, racja . Mój warunek 2) rzeczywiście nie gwarantuje,że pierwistki będa naturalne. A co byście powiedzieli na taką propozycję:

	q
Warunki: Δ > 0 i		− liczba naturalna, prowadzą do wniosku,że q może przyjąć tylko
	2

wartości: q=0 lub q=2 lub q=4, po czy po prostu sprawdzić wszystke wstawiając do równania wyjściowego i odrzucić te, gdy pierwiatki nie będą liczbami naturalnymi ?

PW: No też pięknie. Dla początkujących podkreślmy: to rozwiązanie J i moje polegają na rozumowaniu: Jeżeli istnieją rozwiązania będące liczbami naturalnymi, to q = ... Takie rozumowanie wymaga sprawdzenia, czy wszystkie wyłonione w ten sposób q spełniają warunki zadania, stąd w obydwu wypadkach trzeba wypisać wszystkie możliwe równania i sprawdzić, czy rzeczywiście rozwiązania są liczbami naturalnymi.