granica ciągu. me: Wyznacz granice: a) lim_n→∞ (1+¹_2n−1)⁴ⁿ b) lim_n→∞ (1+¹_n+¹_n²−n)ⁿ c)lim_n→∞ (ⁿ_n+1)ⁿ

	n2+1
d)limn→∞ (		)n2+5
	n2−1

Krzysiek: szukasz w internecie/ na forum/w notatkach granic z liczbą 'e'

me: liczbą e O.o

Krzysiek: to nie słyszało się na wykładach o liczbie 'e' ? To nie rozwiązuj tych zadań skoro nie było...

me: o liczbie e slyszalam, ale nie wiem jak to rozwiazac. a musze to umiec. prosze o pomoc

wredulus_pospolitus: ehhh ... to szukaj hasła 'granica Eulera'

me: no dobrze i wiem ze (1+ ¹_n)ⁿ dązy do e ale jak zrobic powyzsze przyklady?

Krzysiek: no i po tym na wykładzie było pewne tw,że: lim_n→∞(1+a_n)^1/a_n=e zakłądając,że lim_n→∞a_n=0

me: nic z wykladu o tym nie mam wiec prosze o wyjasnienie

me:

	n+1
czyli c) bedzie: (		)−n = (1+1n)−n → 1e tak?
	n

Krzysiek: c) tak.

Krzysiek: musiało być... no to a) (1+1/(2n−1))⁴ⁿ=[(1+1/(2n−1))²ⁿ⁻¹]^{(4n)/(2n−1)}→e²

me: tak a) tez juz rozumiem a jak z c) i d) ?

Krzysiek: podobnie doprowadzasz do postaci: [(1+a_n)^1/a_n]^b_n

me: no tak ale wlasnie nie bardzo wiem jak

Krzysiek: no tak nie wiesz... b) już masz 1+coś d)n²+1=(n²−1)+2

me: a cos wiecej? bo dalej nie wiem co zrobic z ¹_n²−n w b)

me:

	2		2
d) (1+		)n2−1 * (1+		)6
	n2−1		n2−1

me: i wtedy wychodzi granica=e

me:

	2		2
b) (1+1n−1)n = (1+		))n−1 * (1+		)
	n2−1		n2−1

i granica rowniez e?

Krzysiek: nie. bo w pierwszym nawiasie masz: (1+2/(n²−1))ⁿ²⁻¹ a powinno być do potęgi [(1+2/(n²−1))^n2−1)/2]² wtedy ten pierwszy nawias zmierza do e² a drugi do 1 czyli całość do e² b) dwa ułamki sprowadź do wspólnego mianownika

me: nie rozumiem czemu e²

Krzysiek: b) tak zmierza do 'e' ale coś namieszałeś po znaku '='

Krzysiek: d) a_n=2/(n²−1) więc musisz mieć: (1+a_n)^1/a_n 1/a_n=(n²−1)/2

	2
czyli: (1+2/(n2−1))n2−1=[(1+		)(n2−1)/2]2→e2
	n2−1

me: aaa dobrze juz wiem, czyli jak bym miala np. (1+ ³_n ) to musialo by byc do potegi ⁿ₃ i jeszcze do 3 czyli e³?

me: a b) zrobilam dobrze?

Krzysiek: b)napisałem,że po znaku '=' chyba inny przykład przepisałaś. co do postu 21.32 jeżeli byś miała: (1+3/n)ⁿ to tak. wtedy to zmierza do e³

me: cos chyba zle przepisalam b) (1+¹_n−1)ⁿ = (1+¹_n−1)ⁿ⁻¹ * (1+¹_n−1) czyli e?

me: dziękuje bardzo za pomoc

me: jeszcze troche pocwicze i chyba dam rade Dzięki

Krzysiek: b) tak.

me: Dzieki