granice monaa: Liczba e jest zdefiniowana jako granica lim n→∞ (1+1/n)ⁿ , udowodnij, że lim x→∞ (1+1/x)^x = e . Niby proste, ale bardzo proszę o pomoc

zawodus: dowody w internecie

monaa: no to tego dowodu będę miała...dwie linijki...?

milla: pobijam Niech ktoś mi wyjaśni

Maslanek: Domyślam się, że ta druga granica dotyczy funkcji. W takim razie weźmy funkcję f:R₊→R

	1
taką, że dla każdego x∊R+: f(x)=(1+		)x
	x

Rozpatrzmy obcięcie tej funkcji do zbioru N Wtedy f|N:N→R. Wtedy f jest ciągiem.

	1
Wiemy, że lim (n→∞) (1+		)n=e
	n

Funkcja f jest ciągła i stale rosnąca na [0,∞) (rachunek różniczkowy?) oraz ograniczona, zatem jej granicą jest sup f(x) = sup f|N (x) = e. Myślę, że coś takiego brzmi nawet składnie i mądrze

Maslanek: Albo jeszcze inaczej Jeżeli liczba e jest granicą tej funkcji w +∞, to: dla dowolnego E>0 znajdziemy R>0 takie, że dla każdego x>R zachodzi związek |f(x)−e|<E. Rozpatrując obcięcie funkcji f|N mamy, że związek ten zachodzi dla x>min{x∊N: x>R} Spełniona jest zatem definicja granicy w nieskończoności. Stąd też e jest granicą tej funkcji. Jeszcze łatwiej

milla: dziękuję!