Granica funkcji pepe: Witam. Podczas nauki na kolokwium z analizy natrafiłem na lukę w notatkach. Podczas obliczania granicy funkcji dwóch zmiennych można udowodnić, że granica nie istnieje w taki sposób: tworzymy dwie pary ciągów (x_n⁽¹⁾, y_n⁽¹⁾) i (x_n⁽²⁾, y_n⁽²⁾). Ciągi muszą zbiegać do tej samej liczby, ale wyniki funkcji f(x_n⁽¹⁾, y_n⁽¹⁾) i f(x_n⁽²⁾, y_n⁽²⁾) muszą być różne. W przykładzie mam, że

	1
za xn(1) podstawiamy		,
	n

	2
za yn(1) podstawiamy		,
	n

	3
za xn(2) podstawiamy		,
	n

	4
a za yn(2) podstawiamy		.
	n

Moje pytanie brzmi, z czego wynika akurat takie podstawienie? Jakie liczby można podstawić za za x_n⁽¹⁾, jakie muszą spełniać wymogi?

PW: Trzeba pokazać, że ciągi (f(x_n⁽¹⁾),f(y_n⁽¹)) i (f(x_n⁽²⁾),f(y_n⁽²)) mają różne granice − jest to tzw. kontrprzykład wykazujący, że funkcja nie ma granicy (bo gdyby miała, to dowolne takie ciągi powinny mieć tę sama granicę). Jak wybierać − nie można teoretycznie tego powiedzieć, poza tym: − wybierać tak, żeby było źle. Wszystko zależy od przepisu określającego funkcję i intuicji.

pepe:

	x
no dobrze, ale weźmy funkcję f(x,y) =		. Jakich ciągów NIE MÓGŁBYM wybrać? Czy istnieją
	y

jakieś, które ze względu na to jak wygląda funkcja są wykluczone?

PW: Ale co chcesz wykazać o tej funkcji?

pepe: że jej granica nie istnieje

PW: W punkcie (0,0)? Od razu muszę poprawić swoją wypowiedź z 18:06: powinno być w pierwszym wierszu f(x_n¹,y_n¹) i f(x_x⁽²⁾,y_n⁽²⁾) − funkcja dwóch zmiennych, badamy wartości dla dwóch różnych ciągów z dziedziny dążących do tego samego punktu (x₀,y₀). Jakoś ciągle mam trudności z pisaniem czegoś inaczej niż później ma wyglądać. W tym wypadku właśnie świetne są ciągi

	1		2		1		2
xn(1) =		, yn(1) =		, czyli (		,		)→(0,0), ale
	n		n		n		n

	1		2		1   n		1
f(		,		) =		− ciąg stały, jego granica jest równa
	n		n		2   n		2

	3		4		3		4
xn(1) =		, yn(1) =		, czyli (		,		)→(0,0), ale
	n		n		n		n

	3		3
f(...,...) =		− ciąg stały, jego granica jest rowna		.
	4		4

Pokazalismy dwa ciągi w dziedzinie, które dążą do (0,0), ale odpowiednie wartości funkcji mają różne granice. Wniosek: funkcja f nie ma granicy w (0,0).

pepe:

	1		2		1		2
A to, że (		,		)→(0,0) udowadniamy obliczając limesa z f(		,		)? Mam tu
	n		n		n		n

	1		2
podany jakiś sposób z metryką euklidesa, tzn. d( (		,		), (00) )=...
	n		n

Obie metody są równoważne, czy tylko któraś z nich poprawna.

PW: Zbieżność takiego ciągu do (0,0) uznajemy za oczywistą w tym zadaniu (trudno wszystko dowodzić). Przecież rozwiązując zadania o funkcji jednej zmiennej nie dowodzimy za każdym

	1
razem, że		dąży do zera.
	n

Pierwsze zdanie Twojej wypowiedzi niezrozumiałe − po co tam f? Albo mówimy o zbieżności ciągu w dziedzinie, albo o zbieżności wartości funkcji.

pepe: ok, wszystko jasne. Dziękuję! <dyg>