funkcje kwadratowe (wzory viete'a) Justa: Witam Was drodzy Matematycy Czy pomógłby mi ktoś wytłumaczyć jak zrobić owe zadanie. Wyznacz wartości b i c dla których miejsca zerowe x₁ i x₂ funkcji f(x)=x²+bx+c spełniają warunki:

1		1
	+		=4
x1		x2

1		1
	+		=10
x12		x22

ja wykombinowałam coś takiego, ale niestety nie wiem co dalej.

1		1		x2+x1		−b   a		−b
	+		=		=		=		=4
x1		x2		x1*x2		c   a		c

1		1		(x2+x1)2		x22+x12+2x1*x2
	+		=		=		=
x12		x22		(x2+x1)2		(x1*x2)2

	−b   ( )2   a		c   2   a		−b		2
		+		=(		)2+		=
	c   ( )2   a		c   ( )2   a		c		c

	b2+2c
		=10
	c2

oraz Δ>0

wredulus_pospolitus: z pierwszego: b = −4c podstaw do drugiego i wyznacz 'c' ... następnie wyznaczysz bez problemów 'b' UWAGI: 1) nigdzie nie ma napisanego, że miejsca zerowe musza być różne 2) gdzie założenie c≠0

Justa: 1) Δ>0 2) x₁≠x₂ 3)c≠0

−b
	=4 ⇒ b=−4c
c

b2+2c
	=10
c2

(−4c)2+2c
	=10
c2

16c2+2c
	=10
c2

16c2		2c
	+		=10
c2		c2

	2
16+		=10 /*c
	c

16c+2=10c 6c=−2

	1		1
c=−		(w odp mam c=		⇒widzi ktoś mój błąd ?)
	3		3

−b
	=4
c

−b
	=4
1   −   3

	4		4
b=		(no i tu w odp jest b=−		)
	3		3

PW: Polemizuję: użycie liczby mnogiej − "miejsca zerowe" − w treści zadania oznacza, że są dwa − a więc różne. Nie mylmy miejsca zerowego funkcji z pierwiastkiem wielomianu. Wielomian może mieć dwa jednakowe pierwiastki (tak się przyjęło mówić niedbale o pierwiastku dwukrotnym), ale funkcja nie może mieć dwóch jednakowych miejsc zerowych − czegoś takiego nie definiuje się (miejsce zerowe to liczba x₀, dla której f(x₀) =0; możemy ją podstawiać i sto razy otrzymując zdanie prawdziwe, ale nie znaczy to, że f ma sto jednakowych miejsc zerowych). Przykład: f(x) = (x−5)³. Funkcja f ma jedno miejsce zerowe x₀=5. Wielomian f ma 5−krotny pierwiastek x₀=5. Zauważmy, że w zadaniach CKE (maturalnych) używa się terminu "rozwiązanie równania" i "miejsca zerowe funkcji" − nie powinno się mówić o pierwiastkach równania (w starych podręcznikach tak było) ani o pierwiastkch funkcji kwadratowej.

wredulus_pospolitus: u lala ... błąd:

1		1		x2+y2		(x+y)2 −2x*y
	+		=		=
x2		y2		(x*y)2		(x*y)2

oczywiście u Ciebie: x= x₁ y = x₂

PW:

	4		1
x2+		x−		= 0
	3		3

	16		4		28		2√7
Δ=		+		=		, √Δ =
	9		3		9		3

	1		4		2√7		2+√7
x1 =		(−		−		) = −		,
	2		3		3		3

	1		4		2√7		2−√7
x2 =		(−		+		) = −
	2		3		3		3

1		3		2−√7
	= −		= −3		=2−√7
x1		2+√7		−3

1
	= 2+√7
x2

1		1
	+		=2−√7+2+√7=4
x1		x2

Na razie błędu nie widzę. Pewnie błąd w książce.

Justa: oooooo DZIĘKUJĘ! NO I WSZYSTKO JASNE DLACZEGO BYŁ TEN BŁĄD: ) JESZCZE RAZ DZIĘKUJĘ ; ) PW. Wielomian f ma 5−krotny pierwiastek x0=5. ⇒ Wielomian f ma 3−krotny pierwiastek x0=5.

wredulus_pospolitus: PW ... bład jest w drugim przekształceniu ... stąd różnice w znakach pomiędzy tym co wyszło a odpowiedziami

Justa: wredulus_pospolitus: dlaczego musi być ten "−" ? w (x+y)² −2x*y

Justa:

PW:

1		1		x12+x22
	+		=		=
x12		x22		x12x22

	x12+x22+2x1x2−2x1x2
		− i dopiero teraz pierwsze trzy wyrazy w liczniku
	(x1x2)2

zwijamy w kwadrat sumy, Nie zauważyłem tego i wdałem się w rachunki sprawdzające. Niestety − zamiana znaków b i c powoduje, że suma odwrotności nie zmienia się, trzeba by było sprawdzić też sumę odwrotności kwadratów, ale widać że to nie ma sensu, bo błąd znaleziony.

wredulus_pospolitus:

1		1		y2		x2
	+		= wspólny mianownik =		+		=
x2		y2		(xy)2		(xy)2

	x2 + y2
=		= ... a ty chcesz mieć (x+y)2 = x2+y2+2xy ... czyli dodajesz i
	(xy)2

	(x2+y2+2xy − 2xy		(x+y)2 − 2xy
odejmujesz w liczniku 2xy .. =		=
	(xy)2		(xy)2

teraz juz wiesz dlaczego i widzisz jakie błędy zrobiłaś przy przekształceniach

Justa: ok ok.. już wszystko jasne ; ) na przyszłość bardziej muszę uważać przy przekształceniach Bardzo Wam dziękuję ; )