Pomóżcie mi w zadaniu typu udowodnij Maciek: Wykaż, że jeżeli a+b≥1 i a>0 i b>0, to a⁴+b⁴≥1/8

zawodus: wszędzie w necie jest dowód tego

Eta: Z nierówności między średnimi: średnia kwadratowa ≥ średnia arytmetyczna

	a4+b4		a+b
√		≥		/2
	2		2

	(a+b)2
a4+b4≥		i a+b≥1
	8

	1
a4+b4≥
	8

c.n.u

polo: Eta ale średnia kwadratowa to nie takie wyrażenie?

	x2+y2
√
	2

zawodus: Ok już mam tam jest błąd bo powinien być pierwiastek 4 stopnia i wtedy wszystko jest ok

zawodus: polo musisz zamiast

	a4+b4
√
	2

wstawić

	a4+b4
4√
	2

ZKS: Można też tak. Skoro a + b ≥ 1 to z nierówności między średnimi średnia arytmetyczna ≥ średnia geometryczna mamy

a + b
	≥ √ab
2

	1
√ab ≤		/ 2
	2

	1
ab ≤
	4

teraz korzystamy z prawdziwej nierówności dla a ; b ∊ R (a² − b²)² ≥ 0 a⁴ − 2a²b² + b⁴ ≥ 0

	1		1		1
a4 + b4 ≥ 2(ab)2 = 2 * (		)2 = 2 *		=		.
	4		16		8

polo: dzięki wszystkim

polo: genialne pomysły macie chłopaki

5-latek: Eta jest kobieta

Eta: No tak .... źle mi się wpisało średnia potęgowa ≥ średnia arytmetyczna

	a4+b4		a+b
4√		≥		/4
	2		2

	(a+b)4		1
a4+b4≥ 2*		=
	16		8