całki nieoznaczone marekkow1: Całkując przez części oblicz całkę nieoznaczoną. 1. ∫ x cos x dx 2. ∫ xe^x dx 3. ∫ (2x+3) cos x dx 4. ∫ ln x −−−−− dx x² 5. ∫ x3^x dx 6. ∫ (x+1) sin x dx

Kejt: w czym problem?

marekkow1: W ogóle tego nie rozumiem bo nie było mnie na zajęciach a muszę takie coś wykonać i oddać

Kejt: https://matematykaszkolna.pl/strona/2138.html https://matematykaszkolna.pl/strona/2141.html poczytaj sobie na początek.. jak skończysz to daj znać, pomogę.

marekkow1: przeczytałem

marekkow1: 1,2,3 zrobione

Kejt: oki, no to: ∫xcosxdx= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− u=x v'=cosx u'=1 v=sinx −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =... na początek

Kejt: o, no to czwarte.. z czego policzyłbyś pochodną a z czego całkę?

marekkow1: nie mam pojęcia

Kejt: oki.. to może inaczej.. łatwiej Ci policzyć (lnx)'=... czy ∫lnxdx=...?

marekkow1: ∫lnxdx

Kejt: jesteś pewien,, czy zgadywałeś?

marekkow1: szczerze to nie wiem o co w tym wszystkim chodzi, muszę rozwiązać te przykłady ponieważ mogą one być na teście, a mam za mało czasu i za dużo materiału do ogarnięcia do poniedziałku oprócz całek mam szereg innych zadań fajnie że chcesz mi to wytłumaczyć ale niestety nie jest juz na to czas, jak nie pomożesz to trudno

Kejt: trzeba było mówić wcześniej... oszczędziłbyś mi paplaniny mogę zrobić dobry uczynek i to rozwiązać.

marekkow1: takie dobre uczynki się ceni

Kejt: 4.

	lnx
∫		dx=
	x2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− u=lnx v'=x⁻²

	1		1
u'=		v=−
	x		x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

lnx

1

1

lnx

lnx

1

=−

+∫

*

dx=−

+∫x−2dx=−

−

+C

x

x

x

x

x

x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 5. ∫ x3^x dx = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− u=x v'=3^x

	3x
u'=1 v=
	ln3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	3x		3x		3x		1
=x*		−∫		dx=x*		−		∫3xdx=
	ln3		ln3		ln3		ln3

	3x		1		3x
=x*		−		*		+C
	ln3		ln3		ln3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 6. ∫(x+1)sinxdx= −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− u=x+1 v'=sinx u=1 v=−cosx −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− =−(x+1)cosx+∫cosxdx=−(x+1)cosx+sinx+C −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wypadałoby sprawdzić...

marekkow1: a jeżeli rozwiązałem to 1 tak? ∫x cos x dx ∫f(x)* g' (x) dx= f(x)*g(x)− ∫ f'(x)*g(x) dx ∫xcos x dx >> ∫(sin x0' dx= x sin x −∫ (x)' sin x dx= = x sin x − ∫ 1 sin x dx= x sin x − ∫sin x dx >> = =x sin x cos x odp. ∫x cos x dx= x sin x + cos x +c dobrze to jest?

Kejt: tak.

marekkow1: dzięki wielkie !

Gustlik: Wskazówka do całkowania przez części: wielomian * trygonometryczna: u=wielomian ⇔ u'=wielomian stopnia o 1 niższego (pochodna obniża potęgi) v'=trygonometryczna (łatwo scałkować) wielomian * wykładnicza − podobnie: u=wielomian ⇔ u'=wielomian stopnia o 1 niższego (pochodna obniża potęgi) v'=wykładnicza (łatwo scałkować) wielomian * logarytm

	1		1
u=logarytm ⇔ u'=wymierna (		,		) − pozbywamy się logarytmu
	x		xlna

v'=wielomian − łatwo scałkować