dowód Radek: udowodnij, że 5¹²−1 jest podzielne przez 31 wiem jak zrobić ale chciałem innym wozrem skr mnoże (5⁴)³−1=(5⁴−1)(5⁸+5⁴+1) (5²−1)(5²+1)(5⁸+5⁴+1) 24*26(390625+625+1) 624*391251 31*624*12621 Więc jest podzielne przez 31 ? Może tak być ?

Rodney: ja proponowałbym tak: 5¹²−1=(5⁶−1)(5⁶+1)= =(5³−1)(5³+1)(5⁶+1)= =(5−1)(5²+5+1)(5³+1)(5⁶+1)= =(5²+5+1)*(5−1)(5³+1)(5⁶+1)= =(25+5+1)*(5−1)(5³+1)(5⁶+1)= =31*(5−1)(5³+1)(5⁶+1)= =31*n, gdzie n∊N, więc liczba ta jest podzielna przez 31

Radek: Czytałeś to co napisałem? Ja wiem że można tak zrobić ale pytam się o mój sposób?

ZKS: Radek niestety ale Twój sposób według mnie nie jest za dobry to tak jak byś obliczył po prostu 5¹² − 1 i rozłożył. Obliczenie 5⁸ na pewno odbyło się przy wykorzystaniu kalkulatora.

Radek: Może jeszcze ktoś się wypowie?

BoosterXS: Radziu, z jakiego to zbioru? Wyglądam mi na aksjomat czerwony?

Rodney: Aaa... No czytałem, ale wtedy inaczej to rozumiałem Myślę, że sposób prawidłowy, tylko po co tyle liczyć ? Zazwyczaj zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, więc się nie martw jak wyszło inaczej ale z dobrym wynikiem Co do tego jak zrobiłeś można mieć chyba tylko taki problem, że czasami może będzie trzeba zrobić takie zadanie bez używania kalkulatora, a Ty pewnie używałeś?

Radek: Arkusz próbny

Radek: Używałem kalkulatora

Mila: wystarczy tyle: 5¹²−1=(5⁶−1)(5⁶+1)= =(5³−1)(5³+1)(5⁶+1)==124*126*(5⁶+1)=31*4*126*(5⁶+1)= i komentarz Najlepiej tak przedstawić, aby obliczyć to, co potrzeba w pamięci.

Radek: Dziękuję. Też tak zrobiłem ale pytam o drugi sposób ten który przedstawiłem?

Mila: Poprawny, ale za dużo czasu na liczenie, równie dobrze mogłeś obliczyć 5¹². Sposób nieekonomiczny czasowo.

Radek: To jeszcze proszę o wytłumaczenie tego bo nie wiem jak się zabrać i jak zapisać liczbę pierwszą ? Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to p² przy dzieleniu przez 24 daje resztę 1

Mila: wiesz na pewno, że : p− pewna liczba pierwsza (⇔ma tylko 2 dzielniki naturalne, 1 i siebie) Nie ma jakiegoś specjalnego zapisu liczby pierwszej. W tym zadaniu zapisujesz tak: p− liczba pierwsza , p>3 p² przy dzieleniu przez 24 daje resztę 1⇔ p²−1 jest podzielne przez 24 i uzasadniasz

Radek: (p−1)(p+1) ? Brak pomysłu na dalsze rozwiązanie ?

ICSP: Każda liczba pierwsza jest liczba nieparzysta W sąsiedztwie liczby pierwszej są dwie liczby parzyste z których jedna jest podzielna przez 3. Teraz ładnie napisz uzasadnienie.

Radek: Czyli ?

ICSP: Czyli masz napisać dlaczego p² − 1 jest podzielne przez 24 dla dowolnej liczby pierwszej > 3

Radek: Ale nie wiem jak to zrobić ?

ICSP: To może o kolei: Skoro liczba p jest nieparzysta, to możesz ją zapisać w postaci ... Wtedy p² − 1 = ...

Radek: (2k+1)²−1 (2k+2)2k

ICSP: i to ma się dzielić przez 24 Wystarczy zatem aby k(k+1) dzieliło się przez 6. Podzielność przez 2 jest oczywista a przez 3: 2k , 2k+1 , 2k+ 2 − co możesz powiedzieć o tych trzech liczbach? I dlaczego k albo k+1 jest podzielne przez 3 ?

Radek: trzy kolejne liczby całkowite, więc wśród nich jedna jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna przez 2 Już muszę uciekać Dziękuję. Wrócę jutro popołudniu.

: A można jakoś inaczej rozwiązać ten dowód z liczbą pierwszą?

zawodus: dowodów się nie rozwiązuje... Zawsze są inne metody...

Radek: A sposobem Pani Mili jak to dokończyć ? Bo nie rozumiem

Radek: ?

Mila: p− liczba pierwsza , p>3 p²−1 jest podzielne przez 24 p²−1=(p−1)*(p+1) to są kolejne liczby parzyste , p−1≥4, Jedna z tych liczb (p−1) i (p+1) jest podzielna przez 2 i 3, bo p nie jest podzielna przez 3 z założenia Iloczyn (p−1)*(p+1) jest podzielny przez 4 i przez 6 , zatem dzieli się przez 24.

Radek: p−1≥4 tego nie rozumiem

Mila: kolejne liczby pierwsze: 2,3,5,7,... p>3⇔najmniej może byc równa 5 5−1=4

Radek: Dziękuję