. Piotr 10: Wykaż, że jeśli x > 1, y > 1 i z > 1, to log_xz+log_yz ≥ 4 * log_xyz to tak:

logzz		logzz		logzz
	+		≥ 4 *
logzx		logzy		logzxy

1		1		4
	+		−		≥ 0
logzx		logzy		logzx+logzy

(logzy+logzx)2 − 4logzy*logzx
	≥ 0
(logzy*logzx)(logzx+logzy)

(logzy − logzx)2
	≥ 0
(logzy*logzx)(logzx+logzy)

(log_zy − log_zx)² ≥ 0 jest to zawsze spełnione (log_zy*log_zx)(log_zx+log_zy) > 0 , gdyż za założenia wiemy, że x > 1, y > 1 i z > 1, a więc to funkcje rosnące, które gdy mają większy argument niż 1, to ich wartość jest większa od zera log_zy > 0 i log_zx > 0 Jest dobrze ?

Piotr 10: No i oczywiście muszę jeszcze komentarz na końcu dodać, bo wyszedłem od tezy Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że nierówność końcowa jest prawdziwa, a więc nierówność wyjściowa też musi być spełniona

Piotr 10: Hmm?

Piotr 10: ?

zawodus: Ujdzie

Piotr 10: Wiem, że to można inaczej, żeby nie było mianownika, ale wydaje mi się że moje rozwiązanie jest dobre. Udowodniłem, że mianownik > 0, wynika to z własności wykresu funkcji logarytmicznej

ZKS: Nie wiem czy tak nie można było by zrobić. Korzystając z nierówności pomiędzy średnimi mamy średnia arytmetyczna ≥ średnia harmoniczna

1   1   + logzx   logzy		2
	≥
2		logzx + logzy

logxz + logyz		2
	≥
2		logzxy

log_xz + log_yz ≥ 4 * log_xyz.

Piotr 10: ZKS a mój sposób jest też okej?

ZKS: Jak najbardziej ładnie wyjaśnione nie ma do czego się przyczepić.

Piotr 10: Ok dzięki