dowód Radek: Uzasadnij, że dla każdej liczby nieparzystej n, liczba n³−n jest podzielna przez 24 n=2k+1 n³−n=n(n²−1)=n(n−1)(n+1) 2k+1(2k)(2k+2) 2k(2k+1)(2k+2) Co dalej ?

Hajtowy: http://zadane.pl/zadanie/4901805 hmm?

Radek: Tam jest inaczej zrobione. A ja chcę kontynuować swój pomysł. więc link nie przydatny.

Radek: ?

Ada: Prawie koniec, dopisz tylko komentarz. Z rozpisania: (n−1)n(n+1) udowadniasz podzielność przez 12.

Radek: Iloczyn trzech kolejnych liczb jest podzielny przez 6 a tu będzie podzielny przez 12

Ada: O faktycznie, no to potrzebne będzie 1 przekształceninie: 2k(2k+1)*2(k+1)=2*2k(2k+1)(k+1)=4(2k+1)(k+1) − masz 4

Bogdan: 2k(2k + 2)(2k + 1) = 4k(k + 1)(2k + 1) Wśród liczb: k, (k + 1), (2k + 1) jest jedna liczba podzielna przez 2 i jedna podzielna przez 3

Radek: Ale co to są za liczby k,k+1,2k+1 ?

Ada: Eee, sam je wprowadziłeś...

Bogdan: k to np.: 1, 2, 3; 2, 3, 5, 3, 4, 7 itd.

Radek: ?

Radek: Nieparzysta, parzysta, parzysta ? Ale dla takiego układu jakie są własności ?

Bogdan: Powtarzam. Wśród liczb: k, (k + 1), (2k + 1) jest jedna liczba podzielna przez 2 i jedna podzielna przez 3, a to znaczy, że iloczyn tych jest podzielny przez ... (ile?)

Radek: 6

Bogdan: a wobec tego iloczyn 4k(k + 1)(2k + 1) jest podzielny przez ... (ile?)

Lorak: A jakbyś chciał bez wprowadzania n=2k+1, to można w ten sposób: n³−n = (n−1)n(n+1) Jest to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. Wśród tych liczb jest na pewno jedna podzielna przez 3, czyli cały iloczyn dzieli się przez 3. (n−1), (n+1) to dwie kolejne liczby parzyste. Jedna z nich musi być podzielna przez 4, czyli (n−1)(n+1) jest podzielne przez 2*4=8 Czyli liczba n³−n jest podzielna przez 3*8=24

ZKS: To wyjaśnienie łopatologiczne. Jeżeli k jest podzielne przez 2 to liczba k + 1 jest podzielna przez 3. Jeżeli k jest podzielna przez 3 to liczba k + 1 jest podzielna przez 2. Jeżeli k jest nie podzielna przez 2 ani przez 3 to liczba k + 1 jest podzielna przez 2 natomiast liczba 2k + 1 jest podzielna przez 3.

Radek: Dziękuję.