Jak mam to interpretować ? Micke: Mam wektory (4,6,−4,−1) (−1,2,1,2) (5,4,−5,−3) i mam z tego wybrać maksymalną liczbę wektorów niezależnych. Ma to być zrobione z definicji. Robię z tego macierz zgodnie z definicją i jak później mam zbadać nie zależność poszczególnych tych wektorów? Z macierzy w każdej odpowiedzi wychodzi mi parametr a z tego wynika ze wszystkie są zależne podczas gdy w odpowiedzi jest że 2 są liniowo nie zależne. Wychodzi mi taka macierz x1 x2 x3 1 0 1 |0 0 1 −1 |0 i teraz tak: x3=parametr t x2=t x1=−t Nie wiem po prostu jak interpretować te wyniki z macierzy do wektorów.

Micke: Czy tylko jak w wyniku będzie 0 to ten wektor będzie niezależny?

PW: Naprawdę w definicji liniowej niezależności wektorów występuje jakaś macierz? Bo piszesz "robię z tego macierz zgodnie z definicją".

Micke: To znaczy robię tak: mam alfa1 * 1 wektor + alfa 2 * 2wektor + alfa 3 * 3wektor=0 i z tego robie macierz

Micke: Jak mam interpretować te parametry do liniowej nie zależności? Ponawiam.

PW: α[4,6,−4,−1]+β[−1,2,1,2]+γ[5,4,−5,−3] = 0 dla α=1, β=−1, γ=−1 bo 1•4+(−1)•(−1)+(−1)•5 =0 (równość dla pierwszych współrzędnych) 1•6+(−1)•(2)+(−1)•4 =0 (równość dla drugich współrzędnych) 1•(−4)+(−1)•(1)+(−1)•(−5) =0 (równość dla trzecich współrzędnych) 1•(−1)+(−1)•(2)+(−1)•(−3) =0 (równość dla czwartych współrzędnych) Wniosek − badane trzy wektory nie są liniowo niezależne. Oczywiście ładniej byłoby zapisać to w postaci równania z wektorami (bez tłumaczenia których współrzędnych dotyczy równość), ale w tym edytorze jest to trudne. Myślę, że przy poleceniu "z definicji" idzie o taką elementarną obserwację, bez żadnych macierzy czy wyznaczników (chcą sprawdzić czy rozumiesz definicję). Teraz trzeba wybrać dwa z badanych wektorów i pokazać, że są liniowo niezależne, też z definicji i elementarnymi środkami.

Micke: No właśnie cały czas miałem na ćwiczeniach robienie tego macierzą i dalej Gaussem. Rozumiem że będą liniowo nie zależne tylko jeżeli wszędzie będzie zero? I teraz cały czas się nad tym głowię skąd mam wiedzieć który dokładnie(!) wektor jest liniowo nie zależny a który nie? To wynika z jakiejś relacji np. jak spojrzę na wiersze czy kolumny?

PW: Źle postawione pytanie. O całym układzie mówi się, że jest liniowo niezależny (lub nie spełnia tego warunku), tak jak w tym zadaniu − układ trzech podanych wektorów nie jest liniowo niezależny (bo nie spełnia warunków definicji, równanie αv₁+βv₂+γv₃ = [wektor zerowy] musiałoby mieć jedyne rozwiązanie α=β=γ=0, a my pokazaliśmy inne). Przy taki prostym sprawdzaniu z definicji zwyczajnie trzeba zobaczyć rozwiązanie metodą prób i błędów, zazwyczaj nie jest to trudne, gdy układ nie jest liniowo niezależny. Przy sprawdzaniu z definicji nie ma wierszy czy kolumn − są współrzędne poszczególnych wektorów.

Micke: Rozumiem już to trochę z tego ale mam cały czas trochę niejasności Mam z tych wektorów wybrać maksymalną liczbę wektorów niezależnych. W odpowiedzi jest ich 2. Jak mam wyliczyć tą 2 (to znaczy skąd mam widzieć to w gausie; przy rzędach jest prościej ale jeśli tak oblicze to 0 mam punktów). Czyli w tym przykładzie mógłbym wziąć np.v1,v2 i to byłoby to samo co np. v2,v3 lub v1,v3? (podaje tutaj przykłady wektorów nie zależnych w tym przykładzie)

PW: Jak nie trzy, to może dwa. Wykazanie liniowej niezależności dwóch wektorów jest bardzo proste, po co zaraz macierze (miało być przecież z definicji). Nie ma przypadkiem takiego twierdzonka, że dwa wektory tworzą układ liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy mają proporcjonalne współrzędne? Bierzemy dowolne dwa i sprawdzamy.

Micke: Czyli teraz po prostu wykazuje nie zależność dla np, v1 i v2? Jak jej nie ma to np. robię v2 i v3 ?