algebra dawid: Trivial jeżeli miałbyś chwilę mógłbyś zajrzeć ? Mam takie zadanie i ni w ząb nie umiem zrobić go formalnie: Załóżmy, że macierz A na swojej przekątnej ma same 1 oraz jest ona trójkątną dolną macierzą, udowodnij, że A⁻¹ również jest dolną macierzą.

Trivial: Można to udowodnić poprzez eliminację Gaussa. O macierzy dolnotrójkątnej z jedynkami na diagonali wiemy na pewno, że posiada macierz odwrotną (detA = 1). W procesie eliminacji korzystamy tylko z wierszy pod diagonalą, czyli nad diagonalą zawsze będzie 0 (zaczynamy od macierzy jednostkowej i nigdy nie dotykamy góry). Co więcej, nigdy nie dotykamy również diagonali, a zatem macierz odwrotna również będzie miała same jedynki na przekątnej.

dawid: mógłbyś pokazać to na przykładzie ? zapisać to w sensie macierzowym ?

dawid: czy o eliminację Gaussa chodzi ci o zapis [ A | I ] ? Wtedy możemy chyba też korzystać z tego co jest ponad diagonalną, czyli wierszy z zerami i jedynką. Stosując eliminację Gaussa decydujemy się albo na działanie na wierszach, albo na kolumnach ?

Trivial: Przykładowo: [ 1 0 0 ] A = [ 2 1 0 ] [ 3 5 1 ] Niech macierze E_k opisują macierze, które eliminują kolumnę k. Przeprowadzamy eliminację Gaussa: [ 1 0 0][ 1 0 0 ] [ 1 0 0 ] E₁A = [ −2 1 0][ 2 1 0 ] = [ 0 1 0 ] = A₁ [ −3 0 1][ 3 5 1 ] [ 0 5 1 ] [ 1 0 0][ 1 0 0 ] [ 1 0 0 ] E₂A₁ = [ 0 1 0][ 0 1 0 ] = [ 0 1 0 ] = J [ 0 −5 1][ 0 5 1 ] [ 0 0 1 ] Czyli J = E₂A₁ = (E₂E₁)A → A⁻¹ = E₂E₁. Macierze E są zawsze dolnotrójkątne, a iloczyn takich macierzy też jest dolnotrójkątny, czyli A⁻¹ jest dolnotrójkątna.

dawid: dziękuje, a można to zrobić nie wprost ?

Trivial: Pewnie jakoś się da.

dawid: już chyba nawet wiem jak jednak jeszcze nie do końca zrozumiałem linijkę: "W procesie eliminacji korzystamy tylko z wierszy pod diagonalą, czyli nad diagonalą zawsze będzie 0 (zaczynamy od macierzy jednostkowej i nigdy nie dotykamy góry). " − której konkretnie macierzy?

Trivial: Na początku mówiłem o [ A | I ], ale potem pomyślałem, że jest lepszy sposób z E₁, E₂.

dawid: wolę chyba ten sposób [ A | I ] − dlaczego nigdy nie dotykamy góry − w której macierzy ? i co znaczy, że jej nie dotykamy ?

Trivial: Sposób z [ A | I ] jest dużo mniej formalny. Góry nie "dotykamy" ani w A, ani w I. Oznacza to tyle, że "góra" nie zmienia się w procesie eliminacji.

dawid: góra w sensie pierwszy wiersz?

Trivial: Góra w sensie górny trójkąt nad diagonalą.