. Piotr 10: Z półokręgów budujemy krzywą. Pierwszy półokrąg ma promień długości r, r > 0, a promień każdego

	2
następnego półokręgu stanowi		promienia poprzedniego. Niech n oznacza liczbę półokręgów
	3

tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n długość krzywej jest mniejsza od 3πr. No dobra to tak:

	2		2
mamy tu ciąg geometryczny, a1=π*r, jest to półokrąg q=		, a2=		πr a3=....
	3		3

	1−(2/3)n
Sn=π*r		< 3π*r
	1 − 2/3

	2
z tego wychodzi mi, że 1 < (		)n, a przecież to fałsz, więc teza jest nieprawdziwa
	3

i coś mi nie zgadza się

Ada:

	2
Sn=3πr(1−[		]n)
	3

to co w nawiasie dla żadnego n nie będzie większe od 1, kiedy n→∞ ułamek robi się coraz mniejszy, dla odpowiednio dużego n można go przyrównać do zera, więc: S_n<3πr Nie możesz sobie tak wychodzić od tego co masz wykazać, bo są twierdzenia, które działają tylko w jedną stronę.

Piotr 10: Ada czyli S_n dobrze policzyłem ? Tylko nie powinienem od tezy wychodzić ?

Ada:

	1
Tak, wartość sumy jest ok. W ułamku w mianowniku masz		, dlatego u mnie 3 przed całością.
	3

Po policzeniu sumy powinieneś się zastanowić nad jej wartością maksymalną i tyle.

Piotr 10: Troszkę dziwne, że od tezy sprzeczność wyszła mi, pierwszy raz tak spotkałem się. Dzięki za pomoc

Ada: W zasadzie to nie, po prostu pomyliłeś się w przekształceniach:

2   1−[ ]n   3
	<3
1   3

	2
1−[		]n<1
	3

	2
1<1+[		]n
	3

	2
0<[		]n, co jest prawdą
	3

Piotr 10: No taak, 3:3 to jest zeroo haha , tak właśnie myślałem ...