Funkcje 3 zadania Kamil: Cześć, potrzebuje pomocy. Jeżeli moglibyście rozwiązać te zadania i wytłumaczyć mi o co w nich chodzi, to byłbym wdzięczny. 1. Wyznacz maksmalna dziedzine funkcji zadanej wzorem:

	log (16 − x2)
a) f(x) =
	{pi}   − arcsin x 4

	√log(x − 1)
b) f(x) =
	x2 − 1)

2. Sprawdź róznowartosciowosc funkcji:

	x
a) f(x) =
	1+ |x|

	x − 1
b) f(x) =
	x + 1

3. Dane sa funkcje

	{pi}
f(x) = sin x dla E [0,		]
	2

	{pi}
−sin x + 2 dla x E ( 		, {pi} ]
	2

	4		{pi}
g(x) =		x dla x E [0,		]
	{pi}		2

	{pi}
2 dla x E (		, {pi} ]
	2

Obliczyc h = g * f.

Basia: nad okienkiem, w którym piszesz masz symbole: π, ∊ i wiele innych

Kamil: fakt, dopiero zauważyłem, gdyby dało się edytować to bym zmienił.

Basia: ad.1a

	log(16−x2)
f(x) =
	π4−arcsinx

1. 16−x²>0 ⇔ x∊(−4;4) i

	√2		√2
2. arcsinx ≠ π4 ⇔ x≠		(bo sinπ4 =		)
	2		2

czyli

	√2		√2
x∊(−4;		)∪(		;4)
	2		2

ad.1b 1. x−1>0 bo jest logarytmowane 2. log(x−1)≥0 bo jest pod pierwiastkiem 3. x²−1≠0 bo jest w mianowniku 1. x>1 2. log(x−1)≥log1 ⇔ x−1≥1 ⇔ x≥2 3. x≠ −1 ∧ x≠1 czyli x∊<2;+∞)

Kamil: Dziękuję bardzo.

Basia: ad.2a

x1		x2
	=		⇔
1+|x1|		1+|x2|

x₁(1+|x₂|) = x₂(1+|x₁|} ⇔ x₁ + x₁*|x₂| = x₂ + x₂*|x₁| 1. x₁,x₂≥0 mamy ⇔ x₁+x₁*x₂ = x₂ + x₁*x₂ ⇔ x₁ = x₂ 2. x₁,x₂<0 mamy ⇔ x₁ − x₁*x₂ = x₂ −x₁*x₂ ⇔ x₁=x₂ 3. x₁≥0 i x₂<0 ⇔ x₁ − x₁*x₂ = x₂ + x₁*x₂ ⇔ x₁ − 2x₁x₂ = x₂ ⇔

	x2
x1(1−2x2) = x2 ⇔ x1 =
	1−2x2

ale to jest niemożliwe, bo jeżeli

	x2
x2<0 ⇒ −2x2>0 ⇒ 1−2x2>0 ⇒		<0 a x1 miało być nieujemne
	1−2x2

4. x₁<0 i x₂≥0 identycznie czyli funkcja jest różnowaretościowa

Basia: zad3. x∊[0;^π₂] ⇒ sinx∊[0;1]⊂[0;^π₂] ⇒

	4
h(x) = g(f(x)) = g(sinx) =		*sinx
	π

x∊(^π₂;π] ⇒ sinx∊[0;1) ⇒ −sinx∊(−1;0] ⇒ −sinx+2∊(1;2] no to trzeba to rozbić na dwa przedziały (1;^π₂]⊂[0;^π₂] i (^π₂;2]⊂(^π₂;π]

	4−π		4−π
−sinx+2 = π2 ⇔ sinx = 2−π2 =		⇔ x=arcsin
	2		2

i mamy x∊(^π₂;arcsin^4−π₂] ⇒ −sinx+2∊(1;^π₂] ⊂ [0;^π₂] ⇒

	4
h(x) = g(f(x)) = g(−sinx+2) =		*(−sinx+2)
	π

x∊(arcsin^4−π₂; π] ⇒ −sinx+2∊(^π₂;π] ⇒ h(x) = g(f(x)) = g(−sinx+2) = 2 o ile się nie pomyliłam; może ktoś jeszcze sprawdzi

Kamil: Dzięki Ci wielkie. Trochę nie rozumiem w zadaniu 2 skąd się bierze x1,x2≥0, x1,x2<0 itp.