Dla jakich wartości parametru m równanie cos x + p{3} sin x = log m^2 ma rozwiąz Zosia: Dla jakich wartości parametru m równanie cos x + √3 sin x = log m² ma rozwiązania

	π
sin(		+ x)= log m
	6

m ∊< 0,1; 10> jednak we wskazówce mamy

	1		√3
cos x + √3sin x = 2 * (		cos x +		)
	2		2

oraz wynik m ∊< 0,1; 10> m ∊<− 10; 0,1> ? Z jakiej własności skorzystano?

PW: Wskazówka jest bzdurna, wystarczy pomnożyć po prawej stronie przez 2. Problem w tym zadaniu to znalezienie zbioru wartości funkcji f(x) = cosx + √3 sinx. Oszacowania sumy cosx + √3 sinx można dokonać stosując nierówność Cauchy'ego−Buniakowskiego (0) (a₁b₁+a₂b₂)² ≤ (a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²): (1•cosx +√3•sinx)² ≤ (1²+(√3)²)(cos²x+sin²x) (1•cosx +√3•sinx)² ≤ 4•1 (1) −2 ≤ 1•cosx +√3•sinx ≤ 2. Pytanie − czy nierówność (1) tylko ogranicza dziedzinę funkcji f, czy pokazuje ją dokładnie jako przedział [−2, 2]. Odpowiedź znajdziemy sprawdzając w założeniach nierówności Cauchy'ego−Buniakowskiego, kiedy ma miejsce równość. Można też wskazać konkretne x, dla których cosx + √3sinx = 2

	π		1		3
− to łatwe, dla x=		jest cosx=		, zaś √3sinx = √3U{√3{2} =		. Spróbuj
	3		2		2

znależć x dla lewego krańca nierówności (1). Wygląda na to, że prosta y = logm² musi "dziabnąć" wykres wahajżcy się między −2 i 2., czyli −2 ≤ logm² ≤ 2 −2 ≤ 2 log|m| ≤ 2 −1 ≤ log|m| ≤ 1, m≠0. Niestety nie umiem rozwiązać tego bez skorzystania z nierówności (0), co jest pewnie możliwe, ale nie widzę w tej chwili jak.

PW: No jasne, już widzę − miałaś to w zapytaniu.

	π		π		π
sin(		+x) = sin		cosx + cos		sinx
	6		6		6

− wzór na sinus sumy. Po podstawieniu konkretów dostajemy

	π		1		√3
sin(		+x) =		cosx +		sinx
	6		2		2

czyli po wymnożeniu przez 2

	π
2sin(		+x) = cosx + √3sinx,
	6

można więc badać rozwiązywalność równania

	π
2sin(		+ x) = logm2.
	6

Mamy więc łatwiejszy sposób − tu od razu widać, że lewa strona waha się między −2 a 2. Zwracam jednak uwagę, że wyciągnięcie z tego wniosku

	π
sin(		+ x) = logm.
	6

jest błędem − musi być log|m|, m≠0 z uwagi na to, że liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Zosia: dziękuje za wyczerpującą odpowiedź, jednak czy mogę rozważać 2 przypadki m>0 m<0 skoro m założeń logarytmu nie może być ujemna. Słowem nadal nie widzę skąd otrzymujemy wynik: m ∊< 0,1; 10> m ∊<− 10; − 0,1>

Zosia:

PW: Parametr m może przyjmować wartości ujemne, bo logarytmujemy m²>0 dla m≠0. Dlatego jeśli chcemy skorzystać z twierdzenia o logarytmie potęgi, to trzeba spojrzeć na to w ten sposób: logm² = log|m|² = 2 log|m|. Tylko tak możemy to zrobić, bo równość logm² = 2 logm nie jest prawdziwa dla wszystkich m≠0 − lewa strona ma sens. a prawa − nie (dla m<0).