funkcje zadanie: Podac wszystkie szesc par parametrów (a, b), dla których funkcja f :R→R okreslona wzorem: 6 dla x<a f(x)=|x²−10x+15| dla a≤x<b 6 dla b≤x jest ciagła. a=......., b=....... a=......., b=....... a=......., b=....... a=......., b=....... a=......., b=....... a=......., b=....... czy jedynym sposobem jest narysowanie tej funkcji ? czy mozna to jakos obliczyc?

Maslanek: Hm... Skoro ma zachodzić ciągłośc, to lim (x−>a)=6 i lim(x−>b)=6 Czyli |a²−10a+15|=6 i |b²−10b+15|=6 Jak sądzę

Maslanek: Właściwie to odpowiednio dla a lewostronnie i dla b prawostronnie

zadanie: dziekuje dobrze wyszlo a moglbym prosic o wytlumaczenie tych warunkow akurat do tego zadania? bo ogolnie wiem jakie sa tzn. tak: ja bym zrobil tak: lim x→a⁻ i x→a⁺ oraz f(6)= |a²−10a+15| i tak samo dla b

Maslanek: Nie ma sensu rozpatrywać prawostronnej granicy, bo wiadomo, że funkcja tam jest ciągła. Więc na pewno lim(x−>a⁺)=f(a) Natomiast porównanie lewostronnej granicy dla a z f(a) jest ważne. Podobnie z prawostronną.

zadanie: dziekuje

Mila: |x²−10x+15|=6⇔ x=1 lub x=3 lub x=7 lub x=9 teraz podaj pary.

zadanie: mam jeszcze problem z takim zadaniem Niech f :R→R bedzie funkcja okreslona wzorem

	1
f(x)=a*{2x}+b *{2x+1}+c *{x}+d*{x+		}
	2

gdzie {y} oznacza czesc ułamkowa liczby y. W kazdym z podpunktów uzupełnij brakujace liczby rzeczywiste tak, aby funkcja f zdefiniowana powyzszym wzorem była ciagła. Wpisz NIE, jesli uwazasz, ze liczby rzeczywiste o zadanej własnosci nie istnieja. a) a=1, b=2, c =......., d =....... b) a =......., b=2, c=3, d =....... c) a =......., b =......., c=3, d=4 d) a=2, b=3, c =......., d =....... e) a =......., b=3, c=6, d =....... f) a =......., b =......., c=6, d=6 nie chodzi mi o rozwiazanie tego zadania w calosci ale w jaki sposob nalezy je rozwiazac ? bo narysowac te funkcje chyba bedzie trudno

zadanie: wiemy, ze a<b a=1, b=3 a=1, b=7 a=1, b=9 a=3, b=7 a=3, b=9 a=7, b=9

Maslanek: Na pewno: f(x)=2a{x}+b*{2x+1}+c{x}+d{x+0,5} f(x)=2a{x}+2b{x+0,5}+c{x}+d{x+0,5} f(x)={x}(2a+c)+{x+0,5}(2b+d) f(x)=(x−[x])(2a+c)+[(x+0,5)−[x+0,5])(2b+d)

	1
f(x)=(2a+c+2b+d)*x +		(2b+d) − ...( [x]*(2a+c)+[x+0,5]*(2b+d) )
	2

Trzeba by, żeby trzecia część była ciągła. więc chyba równa zero

Maslanek: Tzn. na pewno jest tylko pierwsza linijka Dalej to moje gdybanie

zadanie: za bardzo nie rozumiem

Maslanek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Pod%C5%82oga_i_sufit#Cz.C4.99.C5.9B.C4.87_u.C5.82amkowa Pomyślałem, że: {x}=x−[x], co zgadza się z intuicją dla dodatnich Dla ujemnych też raczej. Weźmy x=−0,4; [x]=−1 Czyli x−[x]=0,6={x}. Więc wygląda ok

Maslanek: Z ostatniej formy f widać, że pierwsze dwa składniki są liniowe, więc na pewno ciągłe. Funkcja jest na pewno ciągła, kiedy jest sumą funkcji elementarnych. Do takich [x] nie należy. Ale gdyby się tego pozbyć

zadanie: ?

zadanie: moglbym prosic o pomoc ?

Mila: Myślę, może jutro. Coś tam odkryłam.

zadanie: chcialbym zapytac o czesc ulamkowa liczby czyli {x} jak mamy {2x}=2{x} ? albo {2x}²=4{x}²

Mila: {x}=x−[x] {2x}=2x−[2x] {2x+1}=2x+1−[2x+1]=2x+1−1−[2x]=2x−[2x]

	1		1		1
{x+		}=x+		−[x+		]
	2		2		2

	1		3
Punkty nieciągłości: k∊C,		,		,...
	2		2

	1		1
f(x) =(2a+2b+c+d)*x+		d−((a+b)*[2x]+c*[x]+d*[x+		])
	2		2

	1
f(0)=		d
	2

	1		1
f(		)=		c
	2		2

a) a=1, b=2, c=−3, d=−3 , f(x)=−1,5 , a+b=−c, c=d b) a=−5 b=2, c=3 , d=3 f(x)=1,5 c) a =......., b =......., c=3, d=4 d)a=2, b=3, c =.−5......, d =.−5......f(x)=−2,5 e) a =......., b=3, c=6, d =....... f) a =......., b =......., c=6, d=6

zadanie: dziekuje bardzo zadam kilka pytan do tego rozwiazania w celu zrozumienia go

	1		3
1. punktami nieciaglosci sa liczby calkowite oraz		,		, ...
	2		2

to mam wiedziec z rysunku? 2. dlaczego liczymy f(0) ?

	1
3. dlaczego liczymy f(		) ? (i czy moglibysmy liczyc f od czegos innego?)
	2

czy warunek dla a,b,c,d to a+b=−c oraz c=d?(czy on wynika z podstawienia f(...) ?) moglbym prosic o wytlumaczenie?

Maslanek: Aj jasne... [2x]≠2[x] Wystarczy wziąć x=1,6. Mamy: [3,2]=3≠2. Kretyn

Maslanek: 1. Punktami nieciągłości są te liczby, bo w otoczeniu tych punktów zmienia się wartość [2x] i

	1
[x+		], natomiast [x] nie (występują w nich nieciągłości)
	2

2. f(0) jest chyba liczone jako punkt odniesienia

	1		1		3
3. f(		) również. Wydaje mi się, że f(		)=f(		)=..., ale to tylko teoria Nie
	2		2		2

liczyłem. Jeśli tak by było, to wiadomo, że f jest stała, co implikuje rozwiązanie To tylko moje domysły

Mila:

	1
Przez analogię do podobnego zadania, zerowałam wszystko oprócz wyrazu wolnego		d
	2

dla x∊C, f(x) zachowuje się tak jak dla x=0

	1		1
Spróbuj obliczyc kilka wartości , podobnie dla x=		, 1		, tam są punkty nieciągłości.
	2		2

	1
[x+		] umiesz narysować albo wywnioskować, jakie sa punkty nieciągłości.
	2

	1		1
Postawiłam tezę,		c=		d⇔c=d
	2		2

(2a+2b+c+d)=0 2a+2b=−2c a+b=−c, następnie sprawdziłam. Nic, więcej nie wymyśliłam. Analizuj, pytaj na ćwiczeniach, napisz tu, jeśli będziesz miał coś istotnego.

Panko: Dotyczy {2x}=2{x} ∀x∊R {x}= x−[x] ⇒ 2x− [2x]= 2( x−[x]) ⇒[2x]=2[x] [x]=k, k∊C ⇔ k≤x<k+1 Stąd jeżeli [x]=k ⇒2[x]=2k = [2x] ⇔2k≤2x<2k+1 Dostajemy układ nierówności : k∊C ∧ ( k≤x<k+1 ∧ 2k≤2x<2k+1) Czyli k∊C ∧ ( k≤x<k+1 ∧ k≤x<k+1/2) i widać przedziały , których suma jest rozwiązaniem równania x∊.....∪ [−2,−3/2) ∪ [−1, −1/2)∪ [0, 1/2) ∪[1, 3/2)∪[2, ,5/2)∪.....

Panko: Dotyczy zadania f(x)= a{2x}+ b{2x+1}+c{x}+d{x+1/2} ,x∊R Zauważamy, że ∀x∊R {2x}= {2x+1} bo [y+k]=[y]+k , y∊R ∧ k∊C Stąd f(x)=(a+b){2x}+ c{x}+ d{x+ 1/2} Zbiór punktów nieciągłości f₁(x) = {2x} to Z={ m/2 , m∊C}= { ....−1,−1/2 , 0 ,1/2 ,1,.....} Pozostał funkcje f₂(x)= {x} , f₃(x)= {x+ 1/2} −−suma zbiorów ich punktów nieciągłości to zbiór Z Rozpatrzmy przypadek a=1 b=2 Najlepiej jest : stawiać kolejne warunki konieczne : Ma być ciągła w R ⇒ ma być ciągła w każdym punkcie zbioru Z ( z osobna) Popatrzmy jak to działa np w x=0 f(x)=(1+2){2x}+ c{x}+ d{x+ 1/2} ma być ciągła w x=0 f(0)= 3{0}+c{0}+d{0+ 1/2}= d/2 teraz jestem dostatecznie blisko x=0⁺ ( x< 1/2) i mogę podmienić odpowiednio mantysy f(x)= 3*2x + cx+ d(x+ 1/2) = x(6+c+d) + d/2 teraz x→0⁺ : lim f(x)= lim ( x(6+c+d) + d/2 ) = d/2 −−−−tu nic ciekawego się nie dzieje Ciekawiej jest gdy x→0⁻ wtedy dostatecznie blisko 0⁻ ( x> −1/2) mogę podmienić mantysy i dostaję f(x)= 3( 1+2x) +c(1+x)+d(x+ 1/2)=x(6+c+d) +3+c+d/2 stąd x→0⁻ lim f(x)= lim ( x(6+c+d) +3+c+d/2 )= 3+c+d/2 Ma być d/2= 3+c+d/2 ⇒ c=−3 Stąd kolejne przybliżenie i kolejny kandydat na f(x)= 3{2x} −3{x}+d{x+ 1/2} Teraz podobnie jak wyżej analizujesz w x=1 , powinieneś dostać d = ? A potem sprawdzasz czy ten jedyny kandydat jest ciągły w punktach zbioru Z

zadanie: dziekuje ale nie za bardzo wszystko rozumiem np. co to znaczy podmienic mantysy (czesci ulamkowe) gdy x→0⁺ i dlaczego? oraz gdy x→0⁻ wtedy widze, ze sa one rozne. i skad mam wiedziec na co podmienic?

Mila:

	1
{2x}=2*{x} dla x∊<0,		)
	2

	1
dla x∊<		,1)
	2

{2x}−2*{x}=−1

Panko: Zapis x→0⁻ to tylko część symboliki granicy jednostronnej funkcji w punkcie x=0 (Bo jest kłopot edycyjny z jej poprawnym zapisem ) Co oznacza < podmienić > dokładnie tyle ,że w Sąsiedztwie lewostronnym x=0 o promieniu r= 1/2 ( przykładowo ) {2x}=1+2x Dlatego ,że 2x=[2x]+ {2x} zawsze , ale dla x∊[−1/2 , 0) [2x] = −1 i stąd 2x=−1+ {2x} ⇒{2x}=1+2x . Podobnie analizuję pozostałe w we wzorze mantysy. Uważam ,że to CIEKAWE zadanie możana tak podejść analizując jako warunki konieczne : ciągłość w dwóch różnych punktach ( gdzie nieciągła jest {2x} ) , apotem ten uzyskany wynik poddajemy ogólnemu badaniu Zapewne za chwilę ktoś pokaże jakiś diaboliczny chwyt , i zakończy sprawę w jednej linijce

zadanie: dziekuje ale i tak nie rozumiem