Wielomiany Wielomian: Witam, nie jest to żadne zadanie ale mam wazny sprawdzian z wielomianow i chcialbym zeby ktos mily i potrafiacy matme wytłumaczyłby mi to na jakis przykladach. Glownie chodzi mi o to jak mamy jeden wielomian podzielny przez jakis Px dajacy reszte i trzeba obliczyc reszte przez inny wielomian, w tym jestem kiepski. z gory dzieki

Lorak: Kiedyś trafiłem na ten temat: http://www.matematyka.pl/329228.htm#p5070110 i tak mi się spodobało tłumaczenie, że aż sobie zakładke zrobiłem

Wielomian: Dzieki

Wielomian: ale chodzi mi jeszcze o takie zadanie: reszta z dzielenia wielomianu wx przez px=x³−x²−10x−8 to rx=x²−x−8 znajdz reszte z dzielenia wielomianu wx przez kx=x²−3x−4

PW: Dla każdej x∊R W(x) = P(x)Q(x) + R(x) − to jest definicja dzielenia z resztą. Q(x) to wynik dzielenia (pewien wielomian, nic o nim nie wiemy, bo i o W(x) też nic nie wiemy). Reszta ma stopień mniejszy niż stopień P(x) − zgadza się, stopień P(x) to 3, a stopień R(x) to 2. Możemy więc założenia zadania napisać w postaci (1) W(x) = (x³−x²−10x−8)Q(x) + x²−x−8. Efekt dzielenia W(x) przez K(x) wygląda następująco: (2) W(x) = (x²−3x−4)T(x) + R(x). T(x) to wynik dzielenia (nic nie wiemy o tym wielomianie), a R(x) jest szukaną resztą − musi ona mieć stopień mniejszy niż K(x), to znaczy R(x) jest stopnia pierwszego lub zerowego − jest funkcją liniową lub liczbą. Teraz z informacji (1) i (2) musimy wydusić jak zachowuje się R(x) − jest stałą (będzie miał te same wartości dla różnych x₁ i x₂) czy funkcją liniową (będzie miał różne wartości dla różnych x₁ i x₂, wtedy łatwo wyliczymy jakie równanie ma ta funkcja liniowa). Wyliczenie konkretnych wartości W(x), a więc i R(x), jest możliwe tylko gdy x₁ i x₂ będą miejscami zerowymi wielomianów P(x) = x³−x²−10x−8 lub K(x) = x²−3x−4. Dlatego szukamy rozkładów: K(x) = (x−4)(x+1) (kto nie umie w pamięci liczy Δ) P(x) = (x+2)(x²−3x−4) (kto nie umie w pamięci stosuje tw. Bezouta i dzielenie) = (x+2)(x−4)(x+1). Równości (1) i (2) mają więc postać: (1') W(x) = (x+2)(x−4)(x+1)Q(x) + x²−x−8 (2') W(x) = (x−4)(x+1)Q(x) + R(x). Podstawiając x₁=4 oraz x₂ = −1 do (1) i (2) otrzymamy: (3) W(4) = 4²−4−8 = 4 W(−1) = (−1)²−(−1)−8 = −6 (4) W(4) = R(4) W(−1) = R(−1) czyli − po podstawieniu (3) do (4) − (5) 4 = R(4) i −6 = R(−1). Oznacza to, że R(x) nie jest stałą, a więc − jak już wspominaliśmy wyżej − jest funkcją liniową. Oznaczmy zatem R(x) = ax + b. Wykorzystanie informacji (5) daje: 4 = a•4 + b i −6 = a•(−1) +b czyli 4a+b = 4 i −a +b = −6 Rozwiązanie tego układu równań daje odpowiedź. Przepraszam, że się tak rozpisałem, ale dokładne wytłumaczenie sposobu myślenia wymaga takiego wypracowania. Zdaję sobie sprawę, że takie zadania stanowią dla ucznia problem − bardziej może trudne jest właśnie zapisanie toku rozumowania niż sam pomysł na rozwiązanie.