Podać przedziały monotoniczności funkcji point: Podać przedziały monotoniczności funkcji Witam! Proszę o pomoc z zadaniem, gdzie należy podać przedziały monotoniczności funkcji 1) f(x)=x^x 2) f(x)=(x+1)*e⁽2x)

fx: Monotoniczność określamy badając znak pierwszej pochodnej funkcji. Schemat postępowania: Wyznaczasz f'_x Rozwiązujesz f'_x = 0 W przedziałach w których: f'_x < 0: f↘ f'_x > 0: f↗ 1. f(x) = x^x jest ciekawym przykładem bo istnieje pewna trudność w wyznaczeniu jej pochodnej. Użyteczny jest wzór: f^g = e^glnf Na jego mocy: x^x = e^xlnx Mam dobry dzień więc pierwszy przykład Tobie rozwiążę. (x^x)' = (e^xlnx)' = e^xlnx(xlnx)' = e^xlnx(lnx + 1) = x^x(lnx + 1) f'_x = 0 e^xlnx(lnx + 1) = 0 e^xlnx = 0 lub (lnx + 1) = 0 e^xlnx zawsze > 0 lnx + 1 = 0 ⇔ lnx = −1 ⇔ e^lnx = e⁻¹ ⇔ x = e⁻¹ Miejscem zerowym jest e⁻¹ f'_x > 0: x∊(e⁻¹; +∞) ⇒ f↗ f'_x < 0: x∊(−∞; e⁻¹) ⇒ f↘ Odpowiedź funkcja f(x) = x^x jest malejąca w przedziale (−∞; e⁻¹), rosnąca w przedziale (e⁻¹; +∞)).

fx: No i jak? Pomysłów na drugi przykład nie masz autorze? To podpowiem: f(x)=(x+1)*e^2x Znana własność pochodnej iloczynu funkcji: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) Więc: f'(x) = (x+1)'(e^2x) + (x+1)(e^2x) f'(x) = (1)(e^2x) + (x+1)(e^2x*(2x)') = e^2x + (x+1)(2e^2x) = e^2x(1 +2(x+1)) = e^2x(2x + 3) f'(x) = 0 e^2x(2x + 3) = 0 ⇔ e^2x = 0 ∨ 2x + 3 = 0 ∀_x∊ℛ e^2x > 0 2x = −3 ⇔ x = −3/2 f'(x) > 0 ∀ x ∊ Df' > −3/2 ⇔ f↗ (−3/2; +∞) f'(x) < 0 ∀ x ∊ Df' < −3/2 ⇔ f↘ (−3/2; +∞)