Ge Radek: Wytłumaczy ktoś jak pisać równanie stycznych do okręgu przechodzących przez jakiś punkt ?

Mila: Różnie można. Zależy od typu zadania. Napisz jakie masz typy.

Radek: (x+1)²+(y−1)²=5 i styczne przechodzą przez punkt A=(2,0)

Ewa: Styczna jest prostopadła to promienia, z którym się styka, czyli korzystasz ze wzoru na wyznaczenie współczynnika kierunkowego przy prostych prostopadłych. Jak masz już współczynnik, to wstawiasz to wszystko do wzoru: równanie prostej przechodzącej przez pkt ... , o współczynniku a

Radek: ?

Radek: ?

Radek: Pomoże ktoś ?

Ewa: Myślę cały czas...

Radek: Pani Milu może mi Pani to wytłumaczyć ? Błagam.

ICSP: y = ax + b − równanie stycznej zatem 0 = 2a + b czyli styczna ma równanie : y = ax − 2a y = ax − 2a (x+1)² + (y−1)² = 5 Masz taki układ równań. Teraz trzeba odpowiedzieć na pytanie : ile punktów wspólnych ma styczna z okręgiem i rozwiązać odpowiednio układ równań.

Radek: Jeden punkt wspólny.

ICSP: No to dalej już bez problemu.

Radek: Podstawić za y ax−2a ?

Mila: Rozwiąż sposobem Ewy II sposób: s: styczna y=ax+b i A∊s, 0=2a+b b=−2a s: y=ax−2a Przekształcam na postac ogólną ax−y−2a=0 S=(−1,1) Korzystam , że odległość stycznej od środka okręgu jest równa r=√5

	|a*(−1)−1−2a|
√5=		⇔|3a+1|=√5*√a2+1 /2⇔
	√a2+1

2a²+3a−2=0 Δ=25

	1
a1=		lub a2=−2
	2

	1		1
s1: y=		x−2*
	2		2

	1
s1: y=		x−1
	2

s₂:y=−2x+4

ICSP: Witaj Eta Jakoś nigdy nie lubiłem tego wzoru

ICSP: Mila oczywiście

Radek: A trzeba korzystać z tej stycznej do środka okręgu i ze wzoru na długość odcinka ?

Mila: ICSP, polemizowałabym. y = ax − 2a (x+1)² + (y−1)² = 5 (x+1)² + (ax−2a−1)² = 5 i tu dla wielu uczniów pojawia się problem z tym drugim kwadratem, Liczę dla Radka x²+2x+1+a²x²+4a²+1−4a²x−2ax+4a=5 porządkuję x²*(a²+1)+x(2−4a²−2a)+(4a²+4a−3)=0 poddaję się.

Radek: Chyba sobie odpuszczę tę maturę roz. Bo analityczna to nie moja bajka. A za rozwiązanie dziękuję.

Mila: Radek, nie panikuj. Spokojnie czytaj, analizuj.

Radek: Analizuję ale i tak wszystkich zadań nie rozumiem a mało czasu już.

ICSP: Fakt. Zły pomysł miałem

Radek: A skąd wzięła się 3 linijka. ?

matyk: ICSP pomysł jest dobry, a to że rachunki czasem mogą wyjść trudne to inna sprawa

Radek: ?

Mila: Radek , o jaką linijkę Ci chodzi, dokładnie podaj.

Radek:

	1		1
s1: y=		x−2*
	2		2

Mila: s: styczna y=ax+b i A∊s, 0=2a+b b=−2a s: y=ax−2a Obliczone a wstawiam do wzoru : y=ax−2a

Radek: Dziękuję jeszcze mam kilka przykładów.

Mila: Pisz.

Radek: Dany jest okrąg o równaniu x²+y²−10x+4y+25=0 . Napisz równania stycznych do tego okręgu, przechodzących przez początek układu współrzędnych (x−5)²−25+(y+2)²−4+25=0 (x−5)²+(y+2)²=4 y=x i dalej na długość odcinka ?

Mila: zrób rysunek , jedną styczną zobaczysz Tu zrobisz I sposobem, jak [Z[ICSP i Ewa radzili] y=ax i podstawiasz do równania (x−5)²+(y+2)²=4 Potem Δ=0

Radek: A czemu nie można Pani sposobem ?

Mila: Oczywiście można , ale teraz prościej tamtym, zrób dwoma sposobami styczna y=ax ax−y=0 d=r=2 dokończ i napisz tu.

Radek: y=ax (x−5)²+(y+2)²=4 (x−5)²+(ax+2)²=4 x²−10x+25+ax²+4ax+4−4=0 x²−10x+25+ax²+4ax=0 (1+a)x²−(10+4a)x+25=0 o to chodzi ?

Mila: Masz tam błąd: (x−5)²+(ax+2)²=4 x²−10x+25 +a²x²+4ax+4=4 x²*(1+a²)+x*(4a−10)+25=0

Radek: (4a−10)²−4*(1+a²)*25=0 i znowu wyjdzie a² chyba Pani rozwiązanie o wiele lepsze.

Mila: Wszystko dobrze, dokończ .

Radek: Znowu Δ mam liczyć ?

Radek: ?

Mila: Masz rozwiązać to równanie. 16a²−80a+100−100−100 a²=0 −84a²−80a=0 −a(84a+80)=0 a=0 lub 84a=−80

	80		−20
a=0 lub a=−		=
	84		21

y=ax y=0*x⇔y=0 (oś OX)

	−20
y=		x
	21

Radek: Dziękuję. Rozwiązałem pierwszym sposobem.

Radek: Mam okrąg o środku S=(−2,3) i promieniu 2 trzeba wyznaczyć styczne przechodzące przez punkt A=(−1,0)

	3
wyszło y=		x−1
	4

x=0 Ale może ktoś pokazać tym sposobem na długość odcinka jak to zrobić ?

Mila: Co to znaczy na długość odcinka?

Radek: odległość punktu od prostej.

Radek: ?

Mila: No dobrze, podpowiem: Styczna ma równanie: s:y=ax+b i punkt A należy do tej stycznej⇔0=−a+b⇔b=a s: y=ax+a przekształcam na postać ogólną: ax−y+a=0 Teraz podstaw ładnie do wzoru na odległość punktu S od tej prostej.

Radek: No to mam

	−ax+y+1|
2=		S=(−2,3)
	√1+a2

U{2a+3+1}{√a²+1=2

|2a+4|
	=2
√a2+1

i tutaj nie wiem jak dalej sobie poradzić |2a+4|=2*√a²+1 /² 4a²+16a+16=4a²+4 16a=−12

	3
a=−
	4

I nie wyszło poprawnie

bezendu: dobrze wyszło.

Radek: ?

Mila: ax−y+a=0, S=(−2,3)

	|−2*a−3+a|
d=2=
	√a2+1

Teraz oblicz, bo błędnie podstawiłeś.

Radek: Czemu błędnie ? mam prostą y=ax+b i przechodzi przez punkt A=(0,−1) −1=a*0+b⇒b=−1 y=ax−1 −ax+y+1=0 S=(−2,3)

−ax+y+1
	=2
√a2+1

2a+3+1|
	=2
√a2+1

|2a+4|=2*√a²+1 gdzie jest błąd ?

Radek: ?

Mila: Przecież przedtem (20:36) napisałeś A=(−1,0) to jak w końcu ma być? Jeżeli A=(0,−1), to masz dobrze. s:y=ax−1 Jedna styczna to : x=0 (Oś OY)

	−3
a=
	4

	−3
s: y=		x−1 druga styczna
	4

Radek: (0,−1) Przepraszam

Mila: No to masz dobrze, coś jest niejasne?

Radek: Wszystko już jasne ale jeszcze z jednym mam problem.

Radek: Z punkt A=(5,0) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x²+y²=4 wyznacz tang pod którym przecinają się te proste y=ax+b 0=5a+b ⇒b=−5a y=ax−5a −ax+y+5a=0

	|−ax+y+5a|
		=2
	√a2+1

	5a
		=2
	√a2+1

|5a|=√a²+1*2 /² 25a²=4a²+4 21a²=4

	4
a2=
	21

	2√21		2√21
a=		lub a=−
	21		21

ok jak na razie ?

Mila: Tak.

Radek:

	2√21
y1=		−5√21
	21

	2√21
y2=−		+5√21
	2

I teraz tym wzorem z tablic ? Ale tam mam dla kata ostrego ?

Mila: Z punktu A=(5,0) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x2+y2=4 wyznacz tangens kąta pod którym przecinają się te proste. y=ax−5a

	2√21		10√21
y=		x−
	21		21

	2√21		10√21
y=−		x+
	21		21

Liczysz tg połowy kąta , Oś X jest osią symetrii

	α		10√21   21		2√21
liczysz tg		=		=
	2		5		21

potem wzór na podwojony tangens kąta.

Radek: Tego to już nie dokończę bo nie wiem jak.

Mila: Zadanie można prościej zrobić, jutro pokażę, a może Eta, tu spojrzy to Ci napisze. (poproś!) Dobranoc.

Radek: Dobranoc i dziękuję

Eta:

	2		√21
|AB|=√52−22= √21 , sinα=		, cosα=
	5		5

sin(2α) = 2sinα*cosα=.......... cos(2α)= 1−2sin²α=....

	sin2α
tg(2α)=		=...........
	cos2α

	2		2√21
lub tgα=		=
	√21		21

	2tgα
to ze wzoru : tg(2α)=		=..........
	1−tg2α

bezendu: Czemu tutaj właśnie z podwójnego kąta ? Nie można z tego wzoru z tablic ?

Eta: Ja,tak lubię

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/1228.html ale trzeba najpierw napisać równania stycznych

bezendu: Dzięki Eta ale czy ten wzór nie jest tylko dla kąta ostrego ?

Radek: Dziękuję. A właśnie to nie obi się tym wzorem 01;13 ?

Radek: ?

Mila: Jak Wam, pięknie napisała Eta nie trzeba było szukać równań stycznych. Podobne zadanie było na maturze, szukanie tych równań zajmuje trochę czasu.

bezendu: Ale można używać tego wzoru ? Nie wiadomo czy tam jest kat ostry ?

bezendu: ?

bezendu: ?

bezendu: To masz problem bo nie mam facebook'a. I radziłbym udać się do psychiatry choć może już za późno do Ciebie.

bezendu: ?

Mila: Napisz w którym miejscu zadania masz ten problem. Połowa kąta między stycznymi jest kątem ostrym.

	α		2		α
Tutaj sin		=		i dalej z jedynki tryg. obliczaj cos		,
	2		5		2

Potem wzór :

	α		α
sinα=2*sin		*cos
	2		2

bezendu: Ale mi chodzi o ten wzór https://matematykaszkolna.pl/strona/1228.html ? Go mogę stosować tylko dla kąta ostrego ?

Mila: Między przecinającymi się prostymi są dwie pary kątów wierzchołkowych,dla jednej pary masz tangens dodatni dla drugiej ujemny. Dla prostopadłych masz w mianowniku zero. Z tego wzoru otrzymasz wynik dodatni, czyli dla kąta ostrego, dla rozwartego masz wynik ujemny.

	√3
tg30o=
	3

dla drugiej pary kątów wierzchołkowych masz

	√3
tg150o=−
	3

bezendu: I który należy wybrać?

Mila: Analizujesz warunki zadania.

bezendu: wyznacz tang pod którym przecinają się te proste dodatni ?

oki: Obie odpowiedzi są poprawne. Jeśli nie ma sprecyzowanej odpowiedzi wystarczy podać jedna wartość.

bezendu: Dziękuję.