Zbiory Adrian: Ze zbioru {1, 2, 3, ... , 200} wybrano 101 różnych liczb. Wynika stąd, że: A)wśród wybranych liczb istnieją dwie takie, że jedna z nich jest dzielnikiem drugiej; B)wśród wybranych liczb istnieją dwie takie, że iloraz z dzielenia jednej z tych liczb przez drugą jest potęgą dwójki; C)każda z wybranych 101 liczb jest parzysta; D)wśród wybranych liczb istnieje 41 liczb podzielnych przez 5. Może być więcej niż jedna poprawna odpowiedź

Adrian: up

gaga: A

PW: Zastanawiałem się nad a) próbując skonstruować najliczniejszy zbiór spełniający warunki zadania. 2•2, 2•3, 2•5, 2•7, 2•11, 2•13, 2•17, 2•19, 2•23, 2•29, 2•31, 2•37, 2•41, 2•43, 2•47, 2•53, 2•59, ... aż do 2•97 (97 jest liczbą pierwszą numer 25, a więc mamy 25 liczb) 3•3, 3•5, ... aż do 3•67 (67 jest liczbą pierwszą o numerze 19, a więc mamy 18 liczb) 5•5, 5•7, ... aż do 5•37 (37 jest 12. liczbą pierwszą, a więc mamy 10 liczb) 7•7, 7•11, 7•13,, 7•17, 7•19, 7•23 (6 liczb) 11•11. 11•13. 11•17 (3 liczby) 13•13 (1 liczba) Do tego można dołożyć następne liczby pierwsze z zakresu <97,200> − jest ich 21. To razem dopiero 25+18+10+6+3+1+21 = 84 liczb. Każda inna liczba z zakresu <1, 200> jest albo liczbą pierwszą (jest więc dzielnikiem pewnej liczby ze skonstruowanego zbioru) albo liczbą złożoną o więcej niż dwóch czynnikach w rozkładzie (jest więc podzielna przez liczbę o dwóch czynnikach w rozkładzie). Trzeba teraz pomyśleć: skonstruowaliśmy zbiór 84 liczb spełniający warunek zadania, zbioru tego nie można powiększyć. Czy z pozostałych 116 liczb nie uda się wybrać 101 liczb spełniających warunek zadania? W zbiorze tym są liczby złożone o co najmniej 3 czynnikach w rozkładzie oraz 25 liczb pierwszych od 2 do 97.