Granica z parametrem Wow: Pokazac ze ^(lnn)k_n jest zbiezny do zera dla k naturalnego po liczbach naturalnych n dązących do nieskończonosci

Maslanek: Powiedzmy, że przed wszystkim stoi granica

(ln n)k		k*(ln n)k−1		k!
	=(H)=		=(H)=...=(H)=
n		n		n

Maslanek: Albo jeszcze inaczej:

	(ln n)k
Ustalmy ciąg (an) taki, że an=
	n

Przypuśćmy, że jest on zbieżny do pewnego a∊R. Wtedy a_n→a oraz a_n+1→a Czyli lim a_n=lim a_n+1=a Rozwiąż równanie

Wow: czym jest to H?

Maslanek: Reguła de l'Hospitala

Wow: nie mogę z tego korzystać. W drugim sposobie korzystasz z załozenia ze ta granica w ogóle istnieje. To nie jest udowodnione

Maslanek: To udowodnij, że ciąg jest malejący i ograniczony od dołu. To Ci nie sprawi problemu

Maslanek: Mógłbyś też udowodnić, że ciąg jest malejący a jego kresem dolnym jest g=0. Tylko pokazanie kresu dolnego byłoby trudniejsze prawdopodobnie Albo raczej na pewno biorąc pod uwagę, że mamy logarytm.

Maslanek: Albo skorzystać twierdzenia Stoltza. Najlepiej pokaż, że jest malejący i ograniczony od dołu

Wow: taaa...mam problem z monotonicznoscią xD

Wow: ooooooo robilem twierdzenie stoltza ale nie wiem co tam mam zrobic. Nie mogę wpasc na pomysł jak to zredukowac do postaci by 'było widać'. Byłbbym wdzięczny gdybys mi pokazał

Maslanek: Niech: a=ln n. Skąd n=e^a

	ak
Wtedy mamy nasze wyrażenie w postaci:
	ea

	ea
Pokaż, że		→ ∞ przy a>0; z twierdzenia Stoltza. Problem w tym, że musisz je użyć k
	ak

	bx; b>1
razy. Więc lepiej skorzystać z własności takiej, że		→ ∞
	xk; a>0

Wow: problem jest inny. Znam twierdzenie Stoltza dla ciągów. Wyrażenie ^ak_e^a jest już funkcją i nie mogę użyć twierdzenia Stoltza ponieważ a nie zawsze będzie liczbą naturalną.

Wow:

ak
ea

Maslanek: Nie ma problemu, jeśli jesteś sprytny.

	potęgowa
Stosujesz powyższe podstawienie i piszesz, że funkcja postaci		→ 0 z
	wykładnicza

	lnk(n)
twierdzenia Stoltza (możesz udowodnić). Wracając do podstawienia również		→ 0.
	n

Koniec dowodu. Pamiętaj, że ciąg jest to funkcja obcięta do N. Więc jeśli cała funkcja jest zbieżna, wtedy również i funkcja obcięta do zbioru jest zbieżna do tej samej liczby. Trochę inwencji... Nie ma sensu wszystkiego negować. Czasami wystarczy skorzystać z wiedzy i twierdzeń.

Wow: Zdaje sobie sprawy z tego. Po prostu nie mogę używać pojęcia funkcji na dziedzinie rzeczywistej istnieje dla mnie tylko dziedzina liczb naturalnych

Maslanek: No to rozszerz i wróć do naturalności... Co za różnica, czy idziesz wybranymi wyrazami ciągu czy całością, jeśli jest on zbieżny? Dokładnie żadna.