oblicz całkę trygonometryczną karola: ∫ sin⁴xdx

wredulus_pospolitus: sin⁴x = 1−cos⁴x = (1−cos²x)(1+cos²x) = ... i co dalej możesz z tym zrobić

karola: podstawienie raczej nie wchodzi w grę

AS: Spróbuj wykorzystać tożsamość

	1
sin4x =		(cos(4*x) + 4*cos(2*x) + 3)
	8

PW: sin⁴x = (sin²x)(sin²x) = sin²x(1−cos²x) = sin²x − sin²xcos²x =

	1		1
= sin2x −		(2sinxcosx)2 = sin2x −		sin22x
	4		4

Czy teraz będzie lżej?

karola: no to sin2xcos2x PW wykorzystałeś jakiś wzór?

PW: Śledząc kolejne przekształcenia możesz zauważyć, że wykorzystałem tylko wzory: sin^x = 1− cos²2x

	1
2sinxcosx = sin2x (żeby ten wzór zobaczyć sztucznie pomnożyłem przez		•4.
	4

Liczyłem na to, że jak zobaczysz, że

	1
∫sin4x dx = ∫sin2x −		∫sin22x dx,
	4

to już policzysz (pewnie wzór na ∫sin²x dx był wcześniej wyprowadzony lub wystąpił jako zadanie).

PW: Chochlik: w drugim wierszu powinno być sin²x = 1−cos²x

AS: Korekta do podanego wzoru

	1
sin4x =		(cos(4*x) − 4*cos(2*x) + 3)
	8

pigor: ..., lub przez części np. tak : ∫sin⁴xdx= ∫sin³sinxdx= |u=sin³x, du=3sin²x*cosxdx i dv=sinxdx, v=∫sinxdx= −cosx |= = −cosx*sin³x+3∫sin²x*cos²xdx= −cosx*sin³x+3∫sin²x*(1−sin²x)dx= = −cosx*sin³x+3∫(sin²x−sin⁴x)dx= −cosx*sin³x+3∫sin²xdx−3 ∫sin⁴x)dx, stąd −−−−−−−−−−−−−−−− przenosząc −3 ∫sin⁴x)dx na lewą stronę równości: 4∫sin⁴xdx=−cosx*sin³x+3∫sin²xdx= −cosx*sin³x+³₂∫2sin²xdx= = −cosx*sin³x+³₂∫(1−cos2x)dx= −cosx*sin³x+³₂(∫dx−∫cos2xdx)= = −cosx*sin³x+³₂x−³₂∫cos2xdx= −cosx*sin³x+³₂x−³₄sin2x /: 4 stąd ∫sin⁴xdx= −¹₄cosx*sin³x+³₈x−³₁₆sin2x= = ¹₁₆(6x+4cosx*sin²x−3sin2x) +C− szukana całka (rodzina funkcji)