Wyznacz wszystkie funkcje liniowe Licealistka: Wyznacz wszystkie funkcje liniowe spełniające równanie y*f(x−1) − x*f(y−1) = f(x−y) dla każdego x, y ∊ R. Czy ktoś mi podpowie jak się za to zabrać?

Basia: każda funkcja liniowa ma postać f(x) = ax+b f(x−1) = a(x−1)+b f(y−1) = a(y−1)+b f(x−y) = a(x−y)+b stąd y*[a(x−1)+b] − x*[a(y−1)+b] = a(x−y)+b y*(ax−a+b) − x*(ay−a+b) = ax−ay+b axy − ay + by − axy + ax − bx = ax−ay+b −ay + by + ay = ax − ax + bx + b by = bx + b 1. b=0 0 = 0+0 czyli równanie prawdziwe dla każdej pary x,y czyli warunki zadania spełnia każda funkcja postaci f(x) = ax 2. b≠0 by = bx+b / :b y = x+1 a tego równania nie spełnia np.para (0,0) odp: f(x) = ax gdzie a∊R (dowolne)