płaszczyzna i prosta, proszę o pomoc :( marti: napisz równanie ogólne płaszczyzny, przechodzącej przez pkt A (−1,1,2) i zawierającej w sobie prostą: l= x=1+5t y=−1+t z= 2t nie wiem jak sie za to zabrać kompletnie

marti: wiem, że wektor u= (5,1,2) jest rownolegly do prostej, ale zeby utworzyc rownanie plaszczyzny potrzebuje prostopadlego i nie wiem co z tym dalej zrobic..

MQ: Wektor normalny do tej prostej jest też wektorem normalnym do płaszczyzny.

MQ: wektor normalny wyznaczysz z iloczynu skalarnego: n^→◯u^→=0

marti: ale wektor normalny do plaszczyzny nie powinien byc prostopadly? czyli rownanie plaszczyzny będzie wygladało: x= −1 +5t + ? y=1+t+? z=2 + 2t +? tak? a co ze znakami zapytania?

marti: czy słuszne jest moje rozumowanie , że z punktu A należacego do plaszczyzny i z punktu B nalezacego do prostej ( 1, −1,0) moge utowrzyc wektor? (oba naleza do plaszcz.) wyjdzie AB=[2,−2,−2] i wektor prostopadly musi byc prostopadly do wektora u i AB, wiec ich iloczyn wektorowy? wyszlo v= [−2,−14,12] , tylko nie wiem co dalej..

Panko: Możesz obrać co najmniej dwa kierunki liczenia . Np Punkt A∉ l ( oczywiście bo zadanie nie byłoby jednoznaczne ) sprawdź Weź dwa różne punkty na prostej L np :t=0 , B=(1,−1,0) t=1 : C=( 6, 0, 2) Weź dwa wektory ( niewspółliniowe) CA =[ −7,1,0] CB=[−5,−1,−2] Każdy wektor na tej płaszczyźnie CX jest kombinacją liniową tych dwóch wektorów C− dowolny punkt szukanej płasczyzny C=(x,y,z) , CX= [ x−6, y−0,z−2] CX= α*CA +β*CB [ x−6, y−0,z−2]= α[ −7,1,0] +β[−5,−1,−2] [ x−6, y−0,z−2] = [ −7α−5β, α−β, −2β] x= 6−7α−5β , y=α−β , z=2−2β −−−−szukana płaszczyzna zadana parametrycznie , α,β∊R Stąd trzeba wyrugować α,β i dostaniesz płaszczyznę w postaci ogólnej

pigor: ..., szukana płaszczyzna ma równanie : x+7y−6z+6= 0 . ... −−−−−−−−−−−−−−−−− wyszło ci bardzo dobrze [A,B,C] = [−2,−14,12]= −2 [1,7,−6] , to teraz mając A=(−1,1,2) − punkt szukanej płaszczyzny, masz już jej równanie : 1(x+1)+7(y−1)−6(z−2)= 0 ⇔ x+7y+2z+1−7+12= 0 ⇔ ⇔ x+7y−6z+6= 0 − szukane równanie płaszczyzny ...