;-) Natalia: Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu równania: x²+y²+z²=xyz w liczbach całkowitych.

matyk: Na pewno trójka (0,0,0)

matyk: I raczej tylko ta trójka

Natalia: a czy można jakoś uzasadnić, że inne liczby nie spełniają?

matyk: Jeśli x,y,z,>0 to bardzo łatwo pokazać, że: x²+y²+z²≥xyz Wynika to z nierówności Cauchy'ego dla średnich

Panko: Równanie jest symetryczne ( każda permutacja zmiennych , nie zmienia równania) Stąd bez naruszenia ogólności warunków mogę przyjąć porządek x≤y≤z wtedy (x+y)² +z²= xy(z+ 2) oraz ∀x, y ∊R (x+y)² ≥4xy skąd xy(z+2)−z² ≥4xy ⇔ xy( z−2)≥z² ale z−2<z i , x≤z , y≤z ⇒ xy≤z² i z−2<z stąd ( ? ?) o ile x=y=z=0 to xy(z−2)<z²

Natalia: a czy mógłbyś pokazać, jak dostałeś równość x²+y²+z²≥xyz?

Panko: Ona jest tu zbędna , ta nierówność Ale , (x−y)² ≥0 (y−z)² ≥0 (z−x)²≥0 dodaję stronami −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− + 2(x²+y² +z²) ≥2(xy+zx+yz)

Panko: Uwaga : uzasadnienie, 9 sty 2014 17:38 pracuje dla w dziedzinie całkowitej nieujemnej