Znajdź liczby należące di przedziału <0;2π> i spełniające równanie: Pomocy: Znajdź liczby należące di przedziału <0;2π> i spełniające równanie: sin⁴x+cos⁴x=1/2

yura:

	1
sin4x + cos4x =
	2

Z jedynki trygonometrycznej: cos²x = 1 − sin²x cos⁴x = (1−sin²x)²

	1
sin4x + (1−sin2x)2 =
	2

	1
sin4x + 1 − 2sin2x + sin4x =
	2

	1
2sin4x − 2sin2x + 1 =
	2

	1
2sin4x − 2sin2x +		= 0
	2

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (jeżeli go nie widzisz, możesz liczyć z delty):

	√2
(√2sin2x −		)2 = 0
	2

	√2
√2sin2x −		= 0
	2

	√2
√2sin2x =
	2

	√2		√2
sin2x =		*
	2		2

	1
sin2x =
	2

	√2
|sinx| =
	2

	√2
sinx = ±
	2

Niech k ∊ ℤ:

	√2
1. sinx =
	2

	π
1.1 x =		+ 2kπ
	4

	3π
1.2 x =		+ 2kπ
	4

	√2
2. sinx = −
	2

	π
2.1 x = −		+ 2kπ
	4

	3π
2.2 x = −		+ 2kπ
	4

Dla x ∊ [0; 2π]:

	π		3π		5π		7π
x ∊ {		,		,		,		}
	4		4		4		4

.: ale ... czemu sin⁴x + cos⁴x = sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x − 2sin²xcos²x =

	1		1
= (sin2x + cos2x)2 −		*4sin2xcos2x = 12 −		(2sinxcosx)2 =
	2		2

	1		3		1		3		1
= 1 −		sin2(2x) *=		+		(1−2sin2(2x)) =		+		cos(4x)
	2		4		4		4		4

3		1		1
	+		cos(4x) =		−−−> cos(4x) = −1 −−−>
4		4		2

	π		kπ
−−−−> 4x = π + 2kπ −−−> x =		+
	4		2

*= dalsze przekształcenia nie są konieczne, ale mimo wszystko są pomocne

Zenek: yura, to jakaś masakra i bezmyślność

oczy zielone: