Wykaż, że Ewa: Wykaż, że jeśli a,b ≥ , to √^{a2 + b2}₂ ≥ 2 : ( ¹_a + ¹_b ) Tam jest 2 dzielone przez ten ułamek, jak zrobiłam ułamki w ułamku, to liczby na siebie nachodziły Dzięki z góry za pomoc!

pigor: .. jest to nierówność między średnią kwadratową i harmoniczną liczb a i b, i o jej prawdziwości można zapewne się przekonać przekształcając ja równoważnie do otrzymania jakiejś przyzwoitej (oczywistej) nierówności , spróbuj . ...

Ewa: Próbuję już od jakiegoś czasu i nie wychodzi, same banialuki Wybacz, ale nie wiem nic o harmoniczności liczb...

Ewa: Może jakieś naprowadzenie? Bo się zawiesiłam w połowie, wyszły mi wielomiany trzeciego stopnia...

Ewa: tam na początku jest założenie a,b ≥ 0

pigor:

	2
... , no to po prawej stronie ułamek		rozszerzę przez ab
	1a+1b

czyli jego licznik i mianownik pomnożę przez ab, to otrzymam kolejno nierównośći równoważne takie :

	√a2+b2		2ab
... ⇔		≥		/*√2(a+b) ⇔ (a+b)√a2+b2} ≥ 2√2ab /2 ⇔
	√2		b+a

⇔ (a+b)²(a²+b²) ≥ (2√2ab)² ⇔ (a+b)²(a²−2ab+b²+2ab) − 2*4a²b² ≥0 ⇔ ⇔ (a+b)²((a−b)²+2ab) −8a²b² ≥0 ⇔ (a+b)²*(a−b)²+2ab(a+b)² −8a²b² ≥0 ⇔ ⇔ [(a+b)(a−b)]²+2ab[(a+b)²−4ab] ≥0 ⇔ (a²−b²)²+2ab(a−b)² ≥0 ∀a,b∊R₊ c.n.w przy czym równość zachodzi przy a=b . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− może ktoś to zrobi zgrabniej, bo ja tak otrzymałem z... marszu on line. ...

PW: A może łatwo pokazać

	2		a+b
		≤		?
	1   1   + a   b		2

Ewa: Jak można łatwiej, to bardzo proszę Ale pigor − jesteś wielki!

PW: Jest wielki, oczywiście. A próbowałaś udowodnić to co sugeruję? Potem zastanowić się, czy teza nie wynika z innej zależności. Rozłożyć problem na dwa łatwiejsze.

asdf:

2		2ab
	=		− teraz juz latwo
a+b   ab		a+b

Ewa: Tak, to zrobiłam. Teraz myślę, jak to połączyć...