Mietek PanMieczysław: Witam. Szereg potęgowy. Prosta sprawa. Dla mnie zagadka. Mam sobie taki szereg:..

	(x−4)2n+1
∑(−1n)		licze R z kryterium Amberta...R=1;
	2n+1

i teraz przedstawiam to jako −1< (x−4) < 1 tak? wtedy dodaje 4 i 3<x<5 ale co się robi z tym wykladnikiem przy (x−4)²ⁿ⁺¹? Kiedy to ma jakies znaczenie dla x? czy to jeszcze cos sie zmienia bo np jak mialem szereg z x²ⁿ to jeszcze musialem tak ze 1<x²<1 a tu jakos tez sie robi ze −1<(x−4)²ⁿ⁺¹<1 tylko ze tu akurat jest wykladnik nieparzysty i nic nie zmienia?

Krzysiek: z kryterium d'Alemberta chyba? po drugie z kryterium d'Alemberta nie otrzymujesz żaden 'R' (promień zbieżności) od tego jest odpowiednie twierdzenie. możesz skorzystać z kryterium d'Alemberta jak i chyba najprościej z kryterium Cauchy'ego lim ⁿ√|(−1)ⁿ (x−4)²ⁿ⁺¹/(2n+1)|=|(x−4)²| szereg zbieżny gdy: |(x−4)²|<1 czyli tak jak napisałeś: 3<x<5 I teraz badasz zbieżność dla: x=3 i x=5 Nie rozumiem Twoich pytań: To jak wyliczyłeś zadanie?

PanMieczysław:

	an+1
No jest takie twierdzenie ze licze granicę lim|		=g
	an

	1
to R=		gdzie R to promien zbieznosci i wtedy podstawiam sobie do −R<(x−4)2n+1<R
	g

I sie pytam czy to jest w sumie poprawne tez rozumowanie, bo wiem ze tez mozna z Couchyego...

Krzysiek: No i w tym tw. taki jest promień gdy masz: ∑a_nxⁿ a tutaj tak nie ma, więc lepiej skorzystać z kryterium Cauchyego lub d'Alemberta i również szybko dostajemy promień zbieżności.

PanMieczysław: aha...no ok. A możesz mi pomóc jeszcze przy tym: Mam za zadanie znalezc sumę szeregu:

	xn
∑
	n

Krzysiek: sumowanie od n=...

Krzysiek: ∑_n=1 xⁿ/n=S(x) S'(x)=∑_n=1 nxⁿ⁻¹/n=∑_n=1xⁿ⁻¹=∑_n=0xⁿ=1/(1−x) S(x)=−ln|x−1|+C S(0)=0 czyli 0=C S(x)=−ln|x−1| szereg zbieżny dla |x|<1 czyli mamy S(x)=−ln(1−x)

PanMieczysław: Widzę, że zastosowałeś tutaj pochodną? Tak się zawsze robi w szeregach potęgowych?

Krzysiek: Tak, różniczkujesz i całkujesz odpowiedni szereg by obliczyć sumę. możesz wychodzić od tego,że: ∑_n=0xⁿ=1/(1−x) i teraz odpowiednio różniczkować/całkować

PanMieczysław: Poczytam gdzieś o tym dokładniej. Jak coś to jeszcze będę pytał.