ekstrema alfa i omega: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji wewnątrz I ćwiartki układu współrzędnych. g(x,y)=xyln(x²+y²) pochodne policzone i teraz wyszedl mi taki układ do rozwiązania

	2x2y
yln(x2+y2)+		=0
	x2+y2

	2xy2
xln(x2+y2)+		=0
	x2+y2

teraz dziele pierwsze równanie przez y, a drugie przez x przy założeniu że x,y≠0. Odejmuje stronami, więc mam 2(x²−y²)(x²+y²)=0 i coś mi tutaj nie pasuje, czy to nie powinien wyjść jakis pkt ? jak to policzyć dalej?

Krzysiek:

	2x2
y(ln(x2+y2)+		)=0
	x2+y2

	2y2
x(ln(x2+y2)+		)=0
	x2+y2

y=0 xlnx²=0 2xlnx=0 x=0 lub x=1 więc masz y=0 i x=1 (bo x≠0 lub 0≠y) z drugiego równania dla x=0 , w pierwszym równaniu wychodzi,że: y=1 czyli masz już dwa punkty: (0,1) i (1,0) teraz zakładasz,że: x≠0 i y≠0 i rozwiązujesz to co napisałes:

	2x2
ln(x2+y2)+		=0
	x2+y2

	2y2
ln(x2+y2)+		=0
	x2+y2

2(x²−y²)/(x²+y²)=0 (x−y)(x+y)=0 x=y lub x=−y dla x=y

	2y2
masz ln(2y2)+		=0
	2y2

ln(2y²)=−1 1/e=2y² ...

alfa i omega: ok, dziękuje za pomoc

Trivial: A ja mam rachunkowo prostszy sposób. Przejdźmy na współrzędne biegunowe. g(x,y) = g(x(r,φ), y(r,φ)) = r²sinφcosφln(r²) = r²ln(r)*sin(2φ), r > 0 I ćwiartka ⇔ φ ∊ [0,^π₂]

	∂g
(1)		= (2rln(r) + r)sin(2φ) = 0
	∂r

	∂g
(2)		= 2r2ln(r)*cos(2φ) = 0
	∂φ

Rozwiązania równania (1) to: 2rln(r) + r = 0 ⇒ 2ln(r) + 1 = 0 ⇒ r = e^−1/2 LUB sin(2φ) = 0 ⇒ φ = 0, ^π₂. Rozwiązania równania (2) to: 2r²ln(r) = 0 ⇒ r = 1 LUB cos(2φ) = 0 ⇒ φ = ^π₄ Zatem rozwiązania układu to: (r,φ) ∊ { (e^−1/2,^π₄), (1,0), (1,^π₂) }