Geometria Analityczna quant0: Witam, Mam kilka zadań z geometrii analitycznej. Proszę o rozwiązanie, mam w środę kolokwium a nie wiem jak się do tego zabrać 1.Dane są punkty A=(2,−1,3), B=(1,1,1), C=(0,0,5) a) obliczyć pole równoległoboku,którego kolejnymi wierzchołkami sa punkty A,B,C; obliczyć cosinus kąta przy wierzchołku B tego równoległoboku, czy punkt D=(2,−4,9) jest czwartym wierzchołkiem, b) napisać równanie parametryczne odcinka BC, c) sprawdzić,czy punkty A,B,C,D leżą w jednej płaszczyźnie, d)obliczyć odległość punkty A od płaszczyzny równoległej do osi Oy i zawierającej punkty B i C 2. Czy proste l: ^x₂ = ^y+1₃ = ^z₁ i k: x=t−1, y=−t+1, z=t są prostymi skośnymi ?

Janek191: z.1 a) → BA = [ 2 − 1, − 1− 1, 3 − 1] = [ 1 , − 2, 2 ] → BC = [ 0 − 1, 0 − 1 , 5 − 1] = [ − 1, − 1, 4 ] więc I BA I = √ 1² + (−2)² + 2² = √9 = 3 I BC I = √ (−1)² + (−1)² + 4² = √9*2 = 3√2 Iloczyn skalarny → → BA o BC = 1*(−1) − 2*(−1) + 2*4 = − 1 + 2 + 8 = 9 → →

	BA o BC		9		1
cos α =		=		=
	I BA I * I BC I		3* 3√2		√2

więc

	1		√2
sin α =		=
	√2		2

Pole równoległoboku

	√2
P = I BA I * I BC I * sin α = 3* 3√2*		= 9
	2

========================================

	1		√2
cos α =		=
	√2		2

==================== W równoległoboku musi być → → AB = DC D = ( x; y, z ) → → AB = − BA = [ − 1, 2 , − 2 ] = [ 0 − x, 0 − y, 5 − z ] czyli − 1 = − x ⇒ x = 1 2 = − y ⇒ y = − 2 − 2 = 5 − z ⇒ z = 7 D = [ 1; − 2, 7 ] Odp. Punkt ( 2, − 4, 9 ) nie jest czwartym wierzchołkiem tego równoległoboku . ===============================================================

quant0: Dzięki wielkie, ratujesz mi życie

quant0: Możesz mi wyjaśnić co tutaj zrobiłeś ? → → AB = − BA = [ − 1, 2 , − 2 ] = [ 0 − x, 0 − y, 5 − z ]

quant0: chyba rozumiem → → → → AB = −BA czyli CD = −DC => [ 0−x. 0−y, 5−z]

Janek191: D = ( x; y, z) C = ( 0, 0, 5) więc → DC = [ 0 − x, 0 − y , 5 − z ] = [ − x , − y , 5 − x ] oraz → → AB = − BA = − [ 1 , − 2, 2 ] = [ − 1 , 2, − 2] → → AB = DC ⇒ [ − 1, 2, − 2 ] = [ − x, − y , 5 − z ] więc − 1 = − x i 2 = − y i − 2 = 5 − z czyli x = 1 i y = − 2 i z = 7 zatem D = ( 1, − 2, 7 ) ======================

Janek191: c ) A = ( 2, − 1, 3) B = ( 1 , 1, 1 ) C = ( 0, 0 , 5 ) → BA = [ 1, − 2, 2 ] → BC = [ − 1, − 1 , 4 ] Płaszczyzna π wyznaczona przez punkty A, B , C ma równanie I x − 1 y − 1 z − 1 I det I 1 − 2 2 I =0 I − 1 − 1 4 I czyli −8*( x − 1) − 2*( y − 1)−( z − 1) − 2*( z − 1) + 2*( x − 1) − 4*( y − 1) = 0 − 6 x − 6y − 3 z + 15 = 0 / : ( −3) 2x + 2y + z − 5 = 0 − równanie płaszczyzny π ===================================== Jeżeli D = ( 2, − 4, 9 ) to mamy 2*2 + 2*( −4) + 9 − 5 = 4 − 8 + 9 − 5 = 13 − 13 = 0 Punkt D leży na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty A, B, C. ====================================================

quant0: Dzięki wielkie, a może mi ktoś wytłumaczyć jak obliczyć odległość punktu A od płaszczyzny ? podpunkt D

quant0: Proszę również o rozwiązanie zadania drugiego.