. Piotr 10: Oblicz sumę wszystkich liczb z tablicy: Proszę o podpowiedź , zawsze mam z tymi tablicami problemy

Saizou : zsumuj najpierw w wierszach a potem w kolumnach, albo na odwrót

Piotr 10: S₁=1+2+3+.....+n S₂=2+3+4+....+n+1 S₃=3+4+5+....+n+2 ..... S_n=n+n+1+n+2+....+2n−1 I teraz do każdej sumy zastosować wzór na sumę skończonego ciągu arytmetycznego ?

Saizou : dokładnie tak

Piotr 10: Dobra coś mam

	n+n2
S1=
	2

	n2+3n
S2=
	2

	n2+5n
S3=
	2

....

	3n2−n
Sn=
	2

Saizou : a ten skrajny prawy dolny to na pewno 2n−1

Piotr 10: Yhym, tak mam na kartce. I coś nie pasuje, bo dalej nie wiem jak to zsumować

Piotr 10: W sumie zadanie za 6 punktów

Krzysiek: 1+2*2+3*3+...+n*n=∑_k=1ⁿk² suma pod przekątną (z elementami 'n'): (n−1)*(n+1)+(n−2)*(n+2)+...(n−(n−1))*(n+n−1)=∑_k=1ⁿ⁻¹(n−k)(n+k)= =∑_k=1ⁿ⁻¹(n²−k²)=∑_k=1ⁿ⁻¹n²−∑_k=1ⁿ⁻¹k² czyli całość to: ∑_k=1ⁿk² +∑_k=1ⁿ⁻¹n²−∑_k=1ⁿ⁻¹k² i teraz chyba łatwo policzysz?.

Piotr 10: Krzysiek a możesz prościej napisać? Bo nie rozumiem Twojego zapisu

PW: Sumy w kolumnach różnią się o n. W każdej następnej kolumnie wyrazy są powiększone o 1 w stosunku do wyrazów poprzedniej kolumny a_{k+1, m} = a_{k, m} + 1. Wierszy jest n, a więc każda suma wyrazów w kolumnie następnej jest o n większa od sumy wyrazów w kolumnie poprzedniej.

Krzysiek: Piotr a orientujesz się w znaku sumy? ∑_k=1ⁿa_k=a₁+a₂+...+a_n ∑_k=1³k²=1²+2²+3² itd. ∑_k=1ⁿk²=∑_k=1ⁿ⁻¹k²+n² pozostało policzyć: ∑_k=1ⁿ⁻¹n²=n²∑_k=1ⁿ⁻¹1=...

matyk: Skąd to zadanie? Zbyt trudne jak na maturę

Panko: Patrz na przekątne (prawy górny−−−−−−lewy dolny) . Weźmy n −−parzyste Wtedy Suma= 1*1 + 2*2+3*3 + (n−1)*(n−1) +n*n + (n+1)*(n−1)+(n+2*(n−2)+......(2n−2)*2+ (2n−1)*1= 1*(1+2n−1) + 2*(2+2n−2)+ 3*(3+2n−3)+.....(n−1)*( n−1+n+1) + n*n 1*2n +2*2n+3*3n+ ....+ (n−1)*2n +n²= 2n(1+2+3+....+ (n−1) ) +n²= 2n*(n−1)*( 1+ (n−1)) /2 +n²= 2n*(n−1)*n/2+n²=n²(n−1)+n²= n²*n=n³ Odp: Dla n −−−parzystych Suma wyrazów tablicy = n³ Teraz n−−nieparzyste ?

PW: Jeszcze raz:

	(n+1)n
− suma liczb z pierwszej kolumny jest równa 1+2+...+n =		= S1
	2

− suma liczb z drugiej kolumny jest równa S₁+n = S₂ − suma liczb z trzeciej kolumny jest równa S₂+n i tak dalej. Wszystkie liczby z tablicy zsumujemy obliczając sumę S₁+S₂+...+S_n − jako sumę ciągu arytmetycznego, o różnicy n i liczbie wyrazów n. Może to zadanie nie jest zbyt trudne na maturę rozszerzoną, tylko trzeba by zrezygnować z idiotycznego pędzenia na czas (18 zadań na 180 minut).

Piotr 10: Krzysiek niestety nie orientuję się w znaku sumy. matyk to zadanie z arkuszy maturalnych, które dostałem od pani ze szkoły. Czasami trudne zadania się tam zdarzają. Dzięki za pomoc

Piotr 10: Wyszła mi Suma całkowita tych wszystkich wyrazów S_c=n³ Zgadza się ?