Czyliczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być liczbą wymiern morfik: Wykaż, że istnieją dwie niewymierne liczby a i b (mogą być równe ) takie, że a^b jest liczbą wymierną.

PW: . Odpowiedź przykładowa: (√2^√2)^√2 = 2, bo (twierdzenie o potędze potęgi) (√2)^√2√2 = √2² = 2 czyli a=√2^√2, b=√2

morfik: A skąd wiesz, że √2^√2 jest liczbą niewymierną? Tego nie wiesz, ale jeżeli √2^√2 jest liczbą wymierną, to a=√2, b=√2. Zatem wspólnie wykazaliśmy, ze takie liczby a i b istnieją. Jedna spośród par: (√2, √2) lub (√2}^√2,√2) jest dobra.

PW: Znałeś rozwiązanie. A może jednakże √2^√2 jest niewymierna? Ktoś to potrafi udowodnić?

Panko: Chyba nie o to idzie w tym klasycznym niekonstruktywnym przykładzie. Weźmy liczbę p= √2^√2 − uważamy, że prawdziwe jest zdanie : p jest niewymierna albo p jest wymierna Jeżeli p ∊W to oczywiście a=b=√2∊NW i jest ok Jeżeli p∊NW to a=p i b=√2 ∊NW ⇒ a^b = 2∊W i jest ok

PW: Ja rozumiem, morfik miał rację, ale zainteresowało mnie, czy można podać prosty dowód niewymierności √2^√2 (nie umiem tego pokazać, ale zawodna intuicja podpowiada, że jest niewymierna).

Rafał28: W 1934 Aleksander Gelfond udowodnił, że ta liczba jest przestępna. http://pl.wikipedia.org/wiki/Aleksander_Gelfond http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Gelfonda-Schneidera

PW: Dziękuję. Dowód jest pewnie piekielnie trudny − kiedyś musiałem znać dowód przestępności liczby e, i to było wyzwanie.. Nie znałem twierdzenia Gelfonda−Schneidera (albo zapomniałem). Na pocieszenie pozostaje mi trafna intuicja