Elementy kombinatoryki Kamix: Witam wszystkich po świątecznej przerwie ; D Nie odwiedzałem Was, bo postanowiłem się całkowicie wyłączyć i nabrać sił przed ostrą nauką pod maturkę. Od teraz nie ma zmiłuj. No może nie tak do końca zluzowałem, bo miałem na głowie egzaminy na prawo jazdy. Ale do rzeczy, jako się rzekło, wziąłem się porządnie za naukę. Mam problem z dwoma zadankami. Zad 1: Osiedle zamieszkuje 2000 osób. Wykaż, że co najmniej dwie z nich mają te same inicjały (przyjmij, że alfabet składa się z 24 liter). I tutaj nie wiem kompletnie co dokładnie mam obliczyć, jak to wykazać, przecież te kombinacje liter muszą mieć jakiś sens, nie ma przecież nazwiska "bsdsad", proszę o pomoc. Zad 2: Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych, w których na pierwszym i ostatnim miejscu stoi ta sama cyfra? Według mnie wygląda to tak: 9* 9* 8* 1 __ __ __ __ Na pierwszym miejscu 9 możliwości (odpada zero) Na drugim miejscu także 9 możliwości bo w tym przypadku zero może być, a odpada liczba, która była użyta na miejscu 1. Na trzecim miejscu 8 możliwości bo odpada liczba z miejsca pierwszego i drugiego. Na czwartym miejscu 1 możliwość (liczba taka jak na miejscu 1). Niestety z moich obliczeń wynika 648, a w odpowiedzi mam 900... Proszę o wskazanie błędu w moim rozumowaniu.

Ajtek: Zad 1. Co to są inicjały Zad 2. Nie masz nic powiedziane, że liczby nie mogą się powtarzać.

Piotr 10: Zauważ zad 2/ I miejsce ok 9 sposobów II miejsce 10 sposobów {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} III miejsce 10 sposobów {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} IV miejsce 1 sposób 9*10*10=900

Mila: Podpowiedź: Bronisław Kamix inicjały : BK Możesz utworzyć : 24*24=576 różnych inicjałów Dalej myśl sam.

Ajtek: Witaj Mila

morfik: Ajtek, Mila, Piotrek10 − Brawo!

Kamix: @Mila: Można utworzyć 576 inicjałów. Skoro mieszkańców jest 2000, tzn., że 2000:576≈3,47 −−> ponad 3 razy powtórzą się te same inicjały, co jest większe od dwóch, co kończy dowód... Mam nadzieję, że dobrze rozumiem. A co do 2 to myślałem, że skoro jest zaznaczone, że cyfry powtarzają się na pierwszym i ostatnim miejscu, to nie sądziłem, że mogę się też powtórzyć na 2 i 3 miejscu... Dlatego tak liczyłem.

Ajtek: 1) Dobrze rozumiesz. 2) Masz info o tym, że na 1 i 4 miejscu ma stać taka sama liczba. O pozostałych dwóch nie masz wspomniane. Liczba 1111 spełnia warunki zadania podobnie jak np: 1231

Kamix: Dzięki Ajtek również ; ) Teraz wiem, że w zadaniu musi być koniecznie zaznaczone, że cyfry nie mogą się powtarzać ; D

Ajtek: .

Kamix: A jeszcze mam takie zadanko, którego nie bardzo wiem jak zrobić... Na ile sposobów można wrzucić 10 identycznych kul do dwóch szuflad? Gdyby było, że do jednej szuflady, to rozumiem, że 10! A do dwóch?

morfik: Jeżeli kule są identyczne, to do jednej szuflady możesz wrzucić je tylko na jeden sposób, a do dwóch na 11 sposobów

Kamix: "Jeżeli kule są identyczne, to do jednej szuflady możesz wrzucić je tylko na jeden sposób", zgadzam się w 100%, ale jak obliczyłeś, że do dwóch szuflad na 11 sposobów?

Kamix: up

morfik: Prosto. Pierwsza pusta w drugiej 10, w pierwszej 1, w drugiej 9, w pierwszej 2, w drugiej 8,... ... w pierwszej 9 w drugiej 1, w pierwszej 10, w drugiej nic

Kamix: Sposób ogarniam, ale jak to zapisać tak bardziej po "matematycznemu"?

morfik: Zapewniam Cię, że jak tak napiszesz na maturze, to żaden sensowny matematyk, nie powie, że to jest źle. Nie ma na to wzoru, jest tylko opis logicznego rozumowania, możesz oczywiści ubrać to w inne słówka. Powodzenia Kamix. Polecam też stronkę z zadaniami i rozwiązaniami http://zdajmyrazem.pl

Kamix: Dzięki morfik!

Mila: Załóżmy każda z 576 osób ma różne inicjały, z pozostałych osób co najmniej dwie osoby muszą mieć te same inicjały, bo 576 osób wyczerpuje wszystkie możliwości, więc z konieczności nowe osoby muszą mieć inicjały, które już wystąpiły. Poczytaj o szufladkach Dirichleta. http://pl.wikipedia.org/wiki/Zasada_szufladkowa_Dirichleta

bezendu: Mila a ta zasada przydaję się na maturze ?

Mila: Myślę,że to wykracza poza program, raczej włączyć zdrowy rozsądek.

bezendu: A schemat Bernoulliego ?

Eta: Też nie ma w programie

bezendu: Ale do zadań z kostką pomocny