pierwiastki olo: Mam pytanie do ekspertów Jeśli na maturze dostanę zadanie treści: Narysuj wykres funkcji f(m), która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania: x²−mx+2=0 to co mam zrobić w przypadku gdy Δ=0. Wartość funkcji będzie równa 1 czy dwa?

kaka: jeżeli Δ=0 to f(m)=1→1 pierwiastek

5-latek: Nie wartosc funkcji bo to co innego a liczba pierwiastkow rownania . Dla mnie 1 rozwiazanie

olo: To w takim razie dlaczego w tym zadaniu: Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania x²+2mx+2m²−3m=0 jest największa Dla Δ=0 suma pierwiastków [wyżej stwierdzacie, że jest jeden] jest liczona dwukrotnie?

5-latek: Ale x₁=x₂

olo: To jest ich jeden czy dwa?

5-latek: Jeden podwojny jak Δ=0

olo: To takie zadanie: Dla jakich wartości parametru m równanie x²+(m−3)x+2m+1 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków, których suma jest nie mniejsza od 3? warunek Δ≥0 czy Δ>0

olo: podbijam

Wazyl: Po prostu sprawdź co się dzieje gdy Δ=0

olo: No dobrze, a jeśli pierwiastek okaże się na 2? To jeśli policzę go jako 1 mam, że nie spełnia warunku, ale jeśli policzę go podwójnie, to już jest ok. I teraz co?

Mila: Masz obliczyć sumę pierwiastków:

	−b
x1+x2=
	a

1) x²+2x+1=0⇔x₁=x₂=−1

	−2
x1+x2=		=−2 i suma zgadza się
	1

2) x²−4x+4=0⇔x₁=x₂=2

	4
x1+x2=		=4 i 2+2=4
	1

Do zadania 1 f(m)=1 dla Δ=0 Jest trochę zamieszania, ale na maturze, będziesz miała treść jednoznaczną. ( Mam nadzieję)

olo: Dziękuje Mila za odpowiedź. A Mogłabyś zerknąć na to zadanie z 14.59? Jaki tam powinien być warunek?

Mila: Δ≥0 Patrz: http://www.czasopisma.gwo.pl/index.php?menu=112&main=353

olo: Sama w moich poszukiwaniach natknęłam się na ten artykuł. Widzę, tutaj swoisty paradoks. Gdy Δ=0 raz pierwiastki traktujemy jako dwa (takie same), a raz jako dokładnie jeden (podwójny). Widać to przy tych zadaniach, które podałam. W zadaniu, gdzie pytają o liczbę pierwiastków dla Δ=0 mówimy, że jest dokładnie jeden. W zadaniu tym z 14.59 natomiast już mamy przy warunku Δ=0 dwa pierwiastki (takie same). Kiedy w takim razie mamy go liczyć raz, a kiedy dwa razy?

Mila: Dla jakiej wartości parametru m, równanie....................ma 1) dwa różne pierwiastki : Δ>0 2) dwa pierwiastki o różnych znakach: Δ>0 3) suma odwrotności pierwiastków dodatnia: Δ≥0 4) suma pierwiastków dodatnia: Δ≥0

PW: W zadaniach maturalnych nie powinno wystąpić określenie "pierwiastki równania". CKE stosuje nazewnictwo "rozwiązanie równania" i "zbiór rozwiązań równania". Rozwiązaniem równania z niewiadomą x jest liczba, która podstawiona w miejsce x zamienia równanie w zdanie prawdziwe. Bez sensu staje się wtedy mówienie o "dwóch jednakowych rozwiązaniach" − bo co by to miało znaczyć? − że liczbę podstawiamy dwa razy i dwa razy zamienia równanie w zdanie prawdziwe? No to i sto razy możemy podstawić. Przy takim nazewnictwie równanie (x−5)² = 0 ma jedno rozwiązanie − jest nim liczba 5. Użycie określenia "rozwiązania równania kwadratowego" (w liczbie mnogiej) oznacza, że równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania (niektórzy mówią dwa różne rozwiązania, ale jest to zbyteczne podkreślenie − dwa rozwiązania to dwie różne liczby). Warto popatrzeć w arkusze egzaminacyjne z lat ubiegłych. Cóż, używamy różnych zbiorów zadań i podręczników, w wielu stosowana jest stara nomenklatura powodująca niepotrzebne wątpliwości. Pozostawmy mówienie o pierwiastkach wyłącznie dla wielomianów − wtedy jest sens mówić, że wielomian ma pierwiastek podwójny, tak jak wielomian (x−5)².

PW: Zadanie od którego zaczęła się dyskusja powinno być sformułowane następująco: Narysuj wykres funkcji f(m), która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania: x²−mx+2=0. Druga możliwa wersja; Narysuj wykres funkcji f(m), która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków wielomianu W(x) = x²−mx+2. Teraz możemy się zastanawiać, czy w obu wersjach f(m) jest tą samą funkcją.

Mila: PW, masz rację, jeśli chodzi o sformułowanie pierwszego zadania. Chodziło o liczbę rozwiązań. Pozdrawiam.

olo: Najgorsze jest to, że z iloma podręcznikami nie mam styczności to w każdym jest coś innego Najwyżej na maturze nie będę pewna napiszę kilka wersji i zrobię aferę w mediach Nawet znalazłam książki z 1976 roku i niestety jest ten sam problem. W zależności jak autorowi jest wygodniej, to raz jest liczony raz, a czasem dwa.

Mila: Na maturze, będziesz miała sytuację jednoznaczną. Popatrz na zadania w arkuszach.

ZKZ: W starych ksiazkazch np z1976r sytuaja byla jednoznaczna . Jesli pisalo 2 pierwiastki to bylo wiadomo ze delta >O a nie jak teraz delta >=0 jesli autor chcial zeby delta byla =0 to wyraznie napisal np dla jakiego m rownanie ma jeden pierwiastek podwojny . Poza tym jestes juz dorosla i mozesz przeciez sama skierowac pytanie do CKE o wyjasnienie Twojego problemu . Niedlugo bedziesz studentka i musisz sie juz przyzwyczajac do tego ze nie wszystko bedzie podane na tacy jak w liceum czy technikum

matyk: ZKZ zacytuje zatem pewną książkę autorstwa Tadeusza Korczyca i Jerzego Nowakowskiego. Tytuł: Matematyka − zbiór zadań maturalnych i egzaminacyjnych. Rok wydania 1976. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania

mx		m+1
	+		=x+1
x−1		x

	1		1
spełniają nierówność		+		<2m+1?
	x1		x2

Mowa jest o dwóch pierwiastkach, zatem powinno być Δ>0, natomiast w rozwiązaniu jest Δ≥0. Piszę do was z tego powodu, że zanim CKE udzieli mi odpowiedzi (jeśli udzieli) to może już minąć moa matura Poza tym to liczę na wasze doświadczenie i rzeczową pomoc