Planimetria Radek: Dwa kąty trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R mają miary α i β. Znajdź pole tego trójkąta i długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. || to oznacza nawias.

AC
	=R
sinβ

|AC|=sinβR

AB
	=R
sin(α+β)

|AB|=sin(α+β)R P=0,5*sinβR*sin(α+β)R*sinα P=0,5sinβsinαsin(α+β)R² Czy ta część zadania jest poprawnie zrobiona ?

Hajtowy: Naturlish

Mila:

AC
	=2R
sinβ

Popraw konsekwentnie i będzie dobrze.

Radek: Druga cześć zadnia.

BC
	=R
sinα

|BC|=sinαR

	0,5sinβsinαsin(α+β)R2
r=
	sinβR+sin(α+β)R+sinαR

	0,5sinβsinαsin(α+β)R2
r=
	R(sinβ+sin(α+β)+sinα

	0,5sinβsinαsin(α+β)R
r=
	sinβ+sin(α+β)+sinα

?

Radek: Pomyliłem wzór, przepraszam. Ale jeśli poprawię 2R to też będzie ok ?

Mila: Popraw korzystanie z tw. sinusów.

Radek:

AC
	=2R
sinβ

|AC|=sinβ2R

AB
	=2R
sin(α+β)

|AB|=sin(α+β)2R

CB
	=2R
sinβ

|CB|=sinβ2R P=0,5*sinβ2R*sin(α+β)2R P=sinβsin(α+β)2R²

	sinβsin(α+β)2R2
r=
	2R(sinβ+sin(α+β)+sinα)

	sinβsin(α+β)R
r=
	sinβ+sin(α+β)+sinα

Teraz dobrze ?

Radek: Coś z tym r chyba nie pasuję ?

5-latek: Ja nie sprwdzalem bo to nie na moje mozliwosci dzisiaj ale z jakiego wzoru skorzystales obliczajac r czy z tego P=p*r gdzie p to polowa obwodu maz ztwego co widze P policzone boki policzne to wyznacz r

Radek: Już wyznaczyłem r. Ale chodzi o to czy jest to poprawnie ?

5-latek:

	2P
czy z tego r=		?
	AB+BC+AC

Radek: Tak.

Mila: Masz pomyłkę :

|CB|
	=2R
sinα

|CB|=2Rsinα sin(180−(α+β))=sin(α+β)

	1
PΔ=		*|AC|*|AB|*sinα
	2

	1
PΔ=		*2Rsinβ*2Rsin(α+β)*sinα
	2

a+b+c=2R*sinα+2R*sinβ+2R*sin(α+β) a+b+c=2R(sinα+sinβ+sin(α+β)) Teraz dokończ i zwróć uwagę na zapisy.

Radek: Pole wychodzi: P=2R²sinβsinαsin(α+β) i tutaj zgadza teraz się z odpowiedziami

	4R2sinβsinαsin(α+β)
r=
	2R(sinα+sinβ+sin(α+β)

	2Rsinβsinαsin(α+β)
r=
	sinα+sinβ+sin(α+β)

Dziękuję, już znalazłem błąd.

Radek: Dłuższa przekątna rombu, którego kąt ostry ma miarę α, ma długość p. Znajdź promień okręgu wpisanego w ten romb. cos(180−α)=−cosα p²=a²+a²−[2a²*(−cosα)] p²=2a²+2a²cosα p²=2a²(1+cosα) p=a√2(1+cosα)

	p
a=
	√2(1+cosα)

P=a²

	p2
P=
	2(1−cosα)

	2p2   2(1−cosα)
r=
	4a

	p2a
r=
	4(1−cosα)

?

Radek: ?

Eta:

	α
sin		=....... ⇒ r=...........
	2

Radek: A co jest nie poprawnie w moim rozwiązaniu ? Proszę o wskazanie błędów.

Eta:

	p		d
zamiast		napisałam przez nieuwagę
	2		2

Eta: Masz dane : α i p odp nie może zawierać "a"

Mila:

	1
r=		hrombu
	2

h_rombu=a*sinα

	p2
a2=
	2(1+cosα)

	p
a=
	√2*(1+cosα)

	p*sinα
2r=
	√2*(1+cosα)

	p*sinα
r=
	2√2*√(1+cosα)

Radek: Czyli w mianowniku zamiast 4a powinno być U{4p}{√2(1+cosα) ?

Mila: W Twoim rozwiązaniu masz błędny wzór na pole rombu; P_rombu=a²*sinα

Radek: Racja, dziękuję. Oblicz pole równoległoboku o kącie ostrym α i przekątnych p i q (p>q) Tutaj nie mam pomysłu na to zadanie ?

Aga1.: P=a*b*sinα, gdzie a i b to boki równoległoboku a * b wyliczysz z układu równań stosując dwa razy tw. cosinusów q²=a²+b²−2*a*b*cosα p²=a²+b²−2*a*b*cos(180⁰−α)

Eta: Poprzednie zadanie można jeszcze dokończyć

	α		α		α
sinα= 2sin		*cos		i 1+cosα= 2cos2
	2		2		2

	p		α
i teraz widać,że r= ...... =		*sin
	2		2

czyli taka odp jaką podałam w poprzednim poście

Mila: P=a*b*sinα Pisz tw. cosinusów, zobacz czy możesz obliczyc a*b.

Radek: Czyli z twierdzenia cosinusów. b²=0,5p*0,5q−(2*0,5p*0,5qcosγ) dobrze myślę ?

Eta: Widzę,że masz pomoc ze strony Mili , więc nie przeszkadzam

Radek: Pani pomoc też jest mi bardzo potrzebna !

Radek: ?

Kejt: całe forum chcesz ściągnąć do pomocy?

Mila: Nie ! α− kat ostry p²=a²+b²−2ab*(−cosα) q²=a²+b²−2ab*cosα dodaję stronami p²+q²=a²+b² Podstaw do I równania,...oblicz potem (ab) i gotowe.

Eta: Ejj Mila p²+q²= 2(a²+b²)

Radek: a no tak α to kąt ostry a nie kąt przecięcia się przekątnych.

	1
P=		(p2−q2)tgα ?
	4

Eta:

	1
P=		(p2−q2)*tgα
	2

Mila: No właśnie, trzeba iść spać, bo źle liczę, dziękuję za poprawkę. Dobrze Radek.

Radek: Dwa boki trójkąta mają długość 3 i 5 a środkowa poprowadzona do trzeciego boku ma długość 2. Oblicz długość trzeciego boku. 2x²=5²+3²−(2*5*3cosα) x²=2²+5²−(2*2*5*cosα) x²=3²+2²−(2*2*3*cosα) układ równań ?

Mila: Co z tym kątem, wszędzie α?

Radek: Czyli jak to powinno wyglądać ?

Eta:

Eta: http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arodkowa_tr%C3%B3jk%C4%85ta

Radek: cos(180−α)=−cosα b²=x²+s²−2xscosα a²=s²+x²+2sccosα ?

Aga1.: Wystarczy układ 2 równań. Kąt α między bokami 3 i 2x. 5²=3²+4x²−2*3*2x*cosα , w dużym trójkącie. 2²=3²+x²−2*3x*cosα, w małym trójkącie z lewej strony

Radek: Pani Eto z tego wzoru można policzyć c tak ? chodzi o ten wzór w wikipedii ?

Eta: tak ( możesz go zawsze wyprowadzić z tw. kosinusów)

Radek: d=0,5p{2a²+2b²−c²) /² d²=0,25(2a²+2b²−c²) 4=0,25(2*3²+2*5²−c²) 4=0,25(18+50−c²) 4=17−0,25c² −0,25c²=−13 / *(−1) 0,25c²=13 c²=52 c=2√13 A muszę to koniecznie wyprowadzać ? Nie mogę od razu z tego skorzystać ?

Eta: Możesz , jeżeli go zapamiętasz i podasz na maturze ,że z takiego wzoru korzystasz

Radek: Zapamiętam. Wykaż, że w trójkącie ostrokątnym o bokach różnej długości naprzeciwko najdłuższego boku leży kat o najmniejszej mierze. a−najdłuższy bok b −bok średniej długości c−najkrótszy bok

c		b
	=		itp ? czy nie ?
sinγ		sinβ

Aga1.: Sprawdź treść zadania, bo podane zdanie jest fałszywe.

Radek: o największej mierze.

Radek: ?

Eta: Jeżeli α≤β≤γ i α,β,γ∊(0^o,90^o) to a≤b≤c a=2R*sinα, b=2R*sinβ, c= 2R*sinγ to.....

Radek: Twierdzenie sinusów mam ?

Radek: ?

Eta: Jeszcze nie wiesz?

Radek:

a		b
	=
sinα		sinβ

Nie wiem dalej, do tego też doszedłem ale co to daję ?

Eta: Jeżeli α≤β≤γ ⇒ sinα≤sinβ≤sinγ i R −− stałe zatem a≤b≤c c.n.u

Radek: To tyle tylko ? Dziękuję

Eta: No tyle

Radek: W trójkącie ABC mamy dane wysokość |CD|=h |∠BAC|=α i |∠ABC|=β oblicz pole tego trójkąta a) ostrokątnego β

h		AC
	=
sinα		sin90

|AC|sinα=h

	h
|AC|=
	sinα

h		CB
	=
sinβ		sin90

|CB|sinβ=h

	h
|CB|=
	sinβ

|∠ACB|=90−α+90−β=180−(α+β) sin[180−(α+β)]=sin(α+β)

	h		h
P=0,5*		*		*sin(α+β}
	sinβ		sinβ

	h2sin(α+β)
P=0,5*
	sinαsinβ

?

Eta: ok

	h		h		1		1
2 sposób |AD|=		, |DB|=		, P= 0,5h2(		+		) [j2]
	tgα		tgβ		tgα		tgβ

Radek: Mogę jeszcze liczyć na Pani pomoc ?

Eta: Oczywiście wynik jest taki sam jak u Ciebie

	sin(α+β)
bo tgα+tgβ=
	cosα*cosβ

	sin(α+β)
co daje że P= 0,5h2*		j2
	sinα*sinβ

Radek: To samo polecenie : obliczyć pole ale kąt BAC jest rozwarty ?

Radek: ?

bezendu:

Radek: ?

Radek: pomoze ktoś ?

Eta: Wystarczy ?

Radek: Tak.

Radek: Dziękuję za pomoc.

Eta: Tylko pamiętaj,że 180^o−α −−− jest kątem ostrym

Radek: Dobrze, jutro albo w piątek będę jeszcze więcej zadań wstawiał nie koniecznie do rozwiązania. Dobranoc

Eta: Miłych snów

Radek: Czy zauważyła Pani poprawę w mojej planimetrii ?

Eta: Jasne,że tak .., tylko trochę więcej wiary w siebie, bo na maturze nie będzie kogo zapytać o poprawny wynik Jeszcze jest sporo czasu, rozwiązując zadania nabierzesz wprawy i będzie ok A o tej porze .... to już powinieneś smacznie spać( umysł wypoczęty, to połowa sukcesu) Dobrej nocy

Radek: Dziękuję za odpowiedź. Dobrej nocy.

5-latek: Wracajac do zadania gdzie miales wykazac ze naprzeciw najwiekszsego boku lezy najwiekszy kat to do wykaznia mozna tez bylo skorzystac z wlasnosci kata zewnetrzrnego trojkata