macierz zadanie: Sprawdz, ze rownanie rekurencyjne x_n+2=2x_n+1−x_n zapisuje sie w formie macierzowej jako

xn+2 xn+1		2 −1 0 1	xn+1 xn
	=			. Znajdz wzor na wyrazy ciagu zadanego tym

rownaniem, jesli wyrazy poczatkowe wynosza x₀=1, x₁=2.

xn+2 xn+1		2 −1 0 1	xn+1 xn
	=

xn+2 xn+1		2xn+1−xn xn
	=

czyli x_n+2=2x_n+1−x_n to prawda bo taki jest wzor w zadaniu ale x_n+1=x_n ? dlaczego?

Krzysiek: tak nie może być. coś źle z tym równaniem macierzowym. "znajdź wzór na wyrazy ciągu" znasz jakąś metodę?

Panko: Coś z tym równaniem macierzowym NIE TAK . Natomiast dla x_n+2 = 2x_n+1 − x_n można stosować narzędzia ogólne: funkcje tworzące. Ale w tym przypadku to da się prościej: x_n+2− x_n+1= x{n+1}− x_n = ....... = x₁−x₀ =2−1=1 Cóż to za znany typ ciągu o stałej różnicy dwóch kolejnych wyrazów? Arytmetyczny r= 1 x₁=2 x_n+1= x₁+ n*r x_n+1= 2+n*1= n+2 i faktycznie x_n+2= n+3= 2x{n+1} − x_n= 2( n+2}− (n+1)

zadanie: takie rownanie macierzowe bylo w poleceniu (chociaz wydaje mi sie, ze aby to bylo poprawne to

	2 −1 1 0
ta macierz powinna wygladac tak:		ale wtedy ponizszy sposob chyba nie

zadziala bo taka macierz bedzie miala jedna wartosc wlasna) mam taki sposob:

	2 −1 1 0
niech M=		wtedy wartosc wlasna tej macierzy to t=1.

xn+2 xn+1		2 1		x1 x0
	=Mn		←ta sa poczatkowe wyrazy

z tej rownosci mozna wyznaczyc wzor na ogolny wyraz ciagu uzywajac diagonalizacji macierzy M (ale jej sie nie da zdiagonalizowac bo ma jedna wartosc wlasna) i teraz nie wiem co zrobic ?

Krzysiek: skoro nie da się zdiagonalizować to można ją sprowadzić do postaci Jordana.

zadanie: nie wiem co to jest

zadanie: a jest moze jakis inny sposob na wyznaczenie tego wzoru ogolnego (bez postaci Jordana w pozniejszych obliczeniach) ?

Krzysiek: metod wyznaczenia wzoru ogólnego jest kilka. tak jak Panko napisał: np. funkcje tworzące albo najbardziej podstawowe rozwiązując równanie charakterystyczne. Tylko,że to nie są metody z wykorzystaniem macierzy.

Krzysiek: a postać Jordana masz na wolframie: http://www.wolframalpha.com/input/?t=crmtb01&f=ob&i=%7B%7B2%2C-1%7D%2C%7B1%2C0%7D%7D

zadanie: Mialem podany przyklad w jaki sposob obliczyc wyraz ogolny ciagu. Dany jest ciag nastepujacym wzorem rekurencyjnym: x₀ = 1; x₁ = 1; x_n+1 = 2x_n + 3x_n−1 dla n ≥ 1: Aby obliczyc ogolny wzor ciagu postapimy nastepujaco:

	xn+1 xn		xn xn−1
wyrazamy pare		poprzez pare		korzystajac z rownosci:

x_n+1 = 2x_n + 3x_n−1 x_n=x_n , z ktorych mamy

xn+1 xn		2 3 1 0	xn xn−1
	=			.

Mozemy dalej w sposób analogiczny wyrazac kolejne pary, az dojdziemy do pary

	x1 x0
utworzonej z wyrazów poczatkowych		:

xn+1 xn		2 3 1 0	xn xn−1
	=			=

	2 3 1 0	2 3 1 0	xn−1 xn−2
=				=...

	2 3 1 0		x1 x0
=		n		.

	2 3 1 0
Oznaczaj¡ac teraz wystepujaca tu macierz jako M =		mozemy zapisac, ze:

xn+1 xn		1 1
	=Mn		(1)

Z tej równosci bedziemy mogli juz wyznaczyc wzór na wyraz ogólny x_n uzywajac diagonalizacji macierzy M, by obliczyc jej potege. Wartosci wlasne tej macierzy to

	−1 1		3 1
−1 i 3 , a odpowiadajace im wektory wlasne to kolejno		i		. Zatem macierz

diagonalna D oraz macierz przejscia P dla macierzy M sa nastepujace:

	−1 0 0 3		−1 3 1 1
D=		. P=		.

	1	−1 3 1 1
P−1=			.
	4

Wykorzystujac diagonalizacje macierzy M obliczamy Mⁿ:

	−1 3 1 1	−1 0 0 3		1	−1 3 1 1
Mn = PDnP−1 =			n			=
				4

	1	(−1)n+3*3n −3*(−1)n+3*3n −(−1)n+3n 3*(−1)n+3n
=			.
	4

Mozemy z rownania (1) obliczyc x_n:

	1		1
xn=		((−(−1)n+3n)*1+(3*(−1)n+3n)*1)=		(2*(−1)n+2*3n)=
	4		4

	1		1
=		*(−1)n+		*3n.
	2		2

Chcialem zrobic wedlug tego przykladu ale najprawdopodobniej macierz podana w poleceniu jest

	2 −1 1 0
bledna. Wczesniej pisalem, ze powinna miec postac		(czy dobrze mysle?)

Ale wtedy taka macierz jak juz wczesniej pisalem ma jedna wartosc wlasna i nie mozna jej zdiagonalizowac i wtedy nie mozna zastosowac metody tak jak w przykladzie.

Krzysiek: Nie musiałeś przepisywać tego przykładu.

	2 −1 1 0
Dla macierzy		jak najbardziej się zgadza przykład.

Napisałem wyżej,że jeżeli nie można zdiagonalizować to można sprowadzić do postaci Jordana. Wtedy również analogicznie rozwiązujemy. mając wektor własny [1,1] szukamy wektora głównego v₂=[x,y] spełniający równanie:

1 −1 1 −1		x y		1 1
	*		=

czyli x−y=1 niech y=a x=1+a [1+a,a]=[1,0]+a[1,1] np. dla a=0, mamy wektor główny [1,0]

	2 −1 1 0		1 1 1 0		1 1 0 1		0 1 1 −1
i teraz		=		*		*

1 1 1 0
	−I kolumna to wektor własny a II kolumna wektor główny.

1 1 0 1
	−postać Jordana ('prawie macierz diagonalna' tylko nad wartościami własnymi

odpowiadającymi wektorowi głównemu dajemy '1' )

0 1 1 −1		1 1 1 0
	−macierz odwrotna do macierzy

I tak jak w powyższym przykładzie. Mⁿ=P*Jⁿ*P⁻¹

zadanie: dla ciagu x_n+2=2x_n+1−x_n o wyrazach poczatkowych x₀=1, x₁=2 wedlug powyzszego sposobu mam:

	xn+2 xn+1		2 1		2 −1 1 0
rownosc		=Mn		←wyrazy poczatkowe; M=

	1 1 1 0	1 1 0 1		0 1 1 −1
Mn=P*Jn*P−1=			n		=

	1 1 1 0	1n 1n 0 1n	0 1 1 −1		1n 2*1n 1n 1n	0 1 1 −1
=				=			=

	2*1n 1n−2*1n 1n 0
=

	xn+2 xn+1		2 1
i teraz z rownosci		=Mn		mam

no wlasnie bo tutaj nie ma x_n tylko jest x_n+1 wiec nie oblicze x_n ?

Krzysiek: źle liczysz Jⁿ powinno wyjść jak u Panko

xn+2 xn+1		n+3 n+2
	=

skoro x_n+1=n+2 to x_n=n+1

zadanie: dziekuje a jak policzyc Jⁿ?

Krzysiek: pomnóż J*J i z tego zauważ, ile będzie wynosić Jⁿ

zadanie:

	1 n 0 1
Jn=

	1 1 1 0	1 n 0 1	0 1 1 −1		n+1 −n n 1−n
Mn=P*Jn*P−1=				=

xn+2 xn+1		n+1 −n n 1−n	2 1
	=

	xn+2 xn+1		2 1
z tego wychodzi, ze		=

gdzie jest blad?

Krzysiek: 3 linijka po prawej stronie mnożysz te macierze.

	xn+1 xn
tylko,że po lewej stronie masz

bo mnożysz 'n' razy. (bo masz x₀=1,x₁=2 ,a po lewej stronie x_n+1 i x_n+2 )

	xn+2 xn+1		2 1
albo liczysz:		=Mn+1

zadanie: teraz wyszlo dziekuje