log ***log***: log(x+1)²+log₂Ix+1I=6 rozwiązaniem ma być: −5, 3... tylko dlaczego?

Bogdan: z = log₂|x + 1| , założenie: x + 1 > 0 z² + z − 6 = 0 Rozwiąż to równanie kwadratowe

Bogdan: Poprawka. log₂(x + 1)² = 2log₂|x + 1| = 2z Rozwiąż równanie: 2z + z = 6

***log***: 2z+z−6=0 3z=6 z=3 3=log₂Ix+1I 8=Ix+1I x+1=8 lub x+1=−8 x=7 lub x=−9 chyba coś nie tak miało wyjść. proszę o pomoc.

***log***: z=2 2=log₂Ix+1I 4=Ix+1I x+1=4 lub x+1=−4 x=3 lub x=−5 zgadza się, mój głupi błąd. nie rozumiem tylko skąd się wzięło 2z+z=6, mógłbyś mi wyjaśnić?

AS: log₂(x+1)² + log₂|x+1| = 6 log₂(x+1)²*|x+1| = 6 (x+1)²*|x+1| = 2⁶ = 64 Dla x > 1 |x+1| = x+1 wtedy (x+1)²*(x+1) = 64 (x+1)³ = 4³ x+1 = 4 x = 3 Dla x < 1 |x+1| = −(x+1) (x+1)²*[−(x+1)] = 64 −(x+1)³ = 64 (x + 1)³ = −64 = (−4)³ x + 1 = −4 x = −5

***log***: AS, a mnie się wydaje że skoro mamy funkcję logarytmiczną to z założenia b>0, czyli nie trzeba rozpatrywać znaku w module tylko opuszczamy normalnie bez przypadków

***log***: a co Ty sądzisz, Bogdanie?

***log***: a może Ty, Basiu się wypowiesz? proszę albo o wyjaśnienie mi skąd się Bogdanowi wzięło 2z+z=6 albo o inny poprawny sposób

Bogdan: Pytanie − jaka jest podstawa w log(x+1)², wszyscy wzięliśmy domyślnie 2, czy tak jest ? Jeszcze wyjaśnienie: log_a b² = 2log_ab

***log***: dokładnie przepisałam przykład, nic więcej nie podano.

***log***: podstawa, to "a", tak? kiedyś słyszłam, że jeśli mamy np. log(x+1)² to jest to to samo co log₁₀(x+1)²

log: ?

Bogdan: Tak, a więc mamy: log₁₀(x+1)² + log2 Ix+1I = 6 tym niemniej upewnij się, czy nie powinno być jednak log₂(x+1)²

Bogdan: Moim zdaniem rownanie taką ma postać: log₂ (x+1)² + log₂ Ix +1I = 6, (x + 1)² = |x + 1|² log₂ |x + 1|² + log₂ |x + 1| = 6 2log₂|x + 1| + log₂|x + 1| = 6, założenie: x ≠ − 1 3log₂|x + 1| = 6 log₂|x + 1| = 2 |x + 1| = 4 ⇒ x + 1 = −4 lub x + 1 = 4 x = −5 lub x = 3

log: okazało się, że jednak ma być log₂(x+1)²+log₂Ix+1I=6 czyli tak jak przyjęliście na początku, przepraszam za zamieszanie. Ale nadal nie wiem jak zrobić to zadanie. ja je robię tak: log₂(x+1)²+log₂(x+1)=6 2log₂(x+1)+log₂(x+1)=6 3log₂(x+1)=6 log₂(x+1)=2 4=x+1 x=3... a drugiego wyniku nie umiem otrzymać

log: aha, rozumiem, a teraz Bogdanie, powiedz mi dlaczego w tym przypadku (mając funkcje logarytmiczną, gdzie b>0 z założenia, czyli Ix+1I>0, nie mogę zrobić tak jak przedstawiłam powyżej?

log: więc?

log: może jednak mi ktoś podpowie?

log: proszę... nie chcę spamować.

AS: Moim zdaniem drugi pierwiastek ginie w momencie przepisania log₂(x+1)² na 2*log(x+1) W pierwszym przypadku dla x = −5 log₂(x+1)² istnieje i wynosi log₂(−4)² = log₂(16) W drugim przypadku dla x = −5 2*log₂(−5 + 1) = 2*log₂(−4) jest nieokreślony. Zakładam oczywiście,że drugi logarytm ma postać log₂|x + 1|

log: mądre spostrzeżenie, gratuluję, ale czy to oznacza, że rozwiązując równanie i korzystając z własności m*log_ab⇔log_ab^m zawsze otrzymamy niepełne rozwiązanie?

AS: To zależy czy argument jest zamknięty nawiasami czy znakami wartości bezwzględnej. Trzeba to analizować osobno. Równanie log₂(x+1)²+log₂(x+1)=6 wymagałoby zastrzeżenia x > −1 natomiast log₂(x+1)²+log₂|x+1|=6 wymagałoby jedynie zastrzeżenia x ≠ −1

zduncio:

	1
3−log		3
	4

andzia: 1/2log2x−2y−2