macierz zadanie:

	1 −1		−1 2		1 0		1 −2
Sprawdz bezposrednio z definicji, ktore sposrod wektorow		,		,		,

	x' y'		y 2x−y
sa wektorami wlasnymi przeksztalcenia liniowego		=		. Podaj wartosci wlasne

odpowiadajace znalezionym wektorom.

	0 1 2 −1
macierz tego przeksztalcenia to

dalej poprosilbym o pomoc

MQ: Można z definicji wektora własnego: Ax=λx gdzie A−macierz przekształcenia, λ− wartość własna, x −− wektor własny. Mnożysz swoją macierz przez kolejne wektory i jeśli dostaniesz w wyniku tensam wektor pomnożony przez skalar, to jest to wektor własny.

zadanie:

	−1 2		1 −2
wektorami wlasnymi sa:		oraz		bo:

0 1 2 −1		−1 2		−1 2
	*		=t

2 −4		−1 2
	=t

2=−t −4=2t t=−2

	−1 2
t=−2; wartosc wlasna to t=−2 dla wektora

0 1 2 −1		1 −2		1 −2
	*		=t

−2 4		1 −2
	=t

−2=t 4=−2t t=−2

	1 −2
t=−2; wartosc wlasna to t=−2 dla wektora

przy pozostalych wektorach t wychodzi rozne w jednym ukladzie rownan wiec nie sa one wektorami wlasnymi poprosilbym o sprawdzenie

zadanie: ?

Krzysiek: ok

zadanie: dziekuje bardzo

zadanie: 2. Bezposrednio z definicji bez poslugiwania sie wielomianem charakterystycznym, znajdz wszystkie wartosci wlasne przeksztalcenia tozsamosciowego I : R²→R² oraz przeksztalcenia zerowego O: R²→R² okreslonego wzorem O(X)=0 dla kazdego X∊R² (symbol 0 oznacza tu wektor zerowy na plaszczyznie). Wartoscia wlasna przeksztalcenia tozsamosciowego jest liczba 1. Istnieje bowiem wektor X, dla ktorego I(X)=X=1*X. (czyli wartosc wlasna to t=1; jest to jedyna wartosc wlasna tego przeksztalcenia). Wartoscia wlasna przeksztalcenia zerowego jest liczba 0. Istnieje bowiem wektor X, dla ktorego O(X)=0=0*X=0 przy czym X to wektor niezerowy. (czyli wartosc wlasna to t=0; jest to jedyna wartosc wlasna tego przeksztalcenia). poprosilbym o sprawdzenie

Krzysiek: ok

zadanie: dziekuje

zadanie:

	a b c d		d c b a
3. Pokaz, ze macierze		i		maja te same wartosci wlasne.

Macierze te maja te same wartosci wlasne bo ich wielomiany charakterystyczne sa takie same. czyli (a−t)(d−t)−bc=0 (drugi ma inna kolejnosc czynnikow ale mnozenie jest przemienne wiec to i tak jest to samo). dobrze?

Krzysiek: tak

zadanie: dziekuje

zadanie: 4. Rozstrzygnij geometrycznie, jakie wartosci i wektory wlasne ma symetria srodkowa wzgledem poczatku ukladu (punktu (0, 0)). geometrycznie to na rysunku ale za bardzo nie wiem jak go narysowac i co potem z tym zrobic moge prosic o pomoc?

Panko: Możesz wspomóc się rachunkiem

	−1 0 0 −1
weż przekształcenie dane macierzą A=

−1 0 0 −1		x y		−x −y
			=

przekształcenie (x,y) → ( −x, −y) to symetria środkowa względem (0,0) wielomian charakterystyczny

	−1−λ 0 0 −1−λ
det		= (1+λ)2 =0 ⇔ λ=−1

zadanie: no tak ale geometrycznie to jak to powinno wygladac?

Krzysiek: tu jest ładnie wytłumaczone: http://www.kowalskimateusz.pl/wektory-i-wartosci-wlasne-eigenvalues-and-eigenvectors/ czyli jak weźmiesz dowolny wektor v=[x,y] i policzysz Av to otrzymasz −v czyli Av=−v a v−jest wektorem własnym gdy Av=λv więc λ=−1 jest wartością własną. a każdy wektor należący do płaszczyzny jest wektorem własnym tego odwzorowania.

Panko: To już złapałeś ? Szukamy wektorów własnych X dla λ=−1 rozwiązując równanie [ A −λ*I ][X] =[0] −wektorowo

−1+1 0 0 −1+1	x y		0 0
		=		czyli

0 0 0 0	x y		0 0		X y
		=		a to spełnia każdy wektor X =		( każdy jest

wektorem własnym)

zadanie: ok dziekuje